高数第二讲(清华版).ppt

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1、2021/10/212021/10/22第二讲函数极限一、函数极限二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量2021/10/23极限的重要性（1）极限是一种思想方法（2）极限是一种概念（3）极限是一种计算方法从认识有限到把握无限从了解离散到理解连续微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需要用极限来求2021/10/24函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限趋向于的变化趋势或趋向于无穷大时，函数（两种基本变化趋势）趋向于一点(一)自变量的变化趋向于无穷2021/10/25定义1：（二）函数极限的定义1.函数在一点的极限202

2、1/10/26[注意]考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。[例1]2021/10/27[例2]2021/10/28定义2：（左、右极限）2021/10/29一点极限与单侧极限有什麽关系？[例]观察图形问题：2021/10/2102.函数在无穷远的极限定义3：类似的可定义或2021/10/211例如2021/10/212定义4：3.函数极限的精确定义2021/10/213二、函数极限的性质性质2:（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界.性质1:（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的.202

3、1/10/214性质3:（保号性）性质42021/10/215（一）四则运算定理注：表示的任一种趋向.三、极限的运算法则2021/10/216（二）复合函数的极限定理[注意]例如：2021/10/217（三）夹逼定理:（四）初等函数的极限2021/10/218四、两个重要极限1.2.2021/10/219利用夹逼定理考虑不等式即[证明]亦即2021/10/220将（1）式与（2）式结合起来，得到有2021/10/221即2021/10/222定义1：在某个变化过程中,极限为零的函数,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量（一）定义例如：[注意]：无穷小量是

4、极限为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！2021/10/223定义2：在某个变化过程中,绝对值无限变大的函数,称为在此变化过程中的无穷大量（无穷大）。2021/10/224[例]2021/10/225（二）无穷小与无穷大的性质性质1：注意：性质1只可以推广到有限个函数[例]2021/10/226性质3：性质2：2021/10/227[例][例]2021/10/2281.（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（三）三个重要关系2021/10/2293.无穷大与无界函数问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？