(一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明.docx

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1、（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。证法如图，作OUAD，OVBC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于EUOEMO90FVOFMO90得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。则AUM=EOM，MOFMVC又MADMCB，U、V为AD、BC的中点，从而

2、MUAMVC，AUMMVC则EOMMOF，于是ME=MF。[]证法过D作关于直线OM的对称点D'，如图所示，则FMD'EM，DMD=M联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即PC'CQ。又A111BC'=BD'C'CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=E222PUM故M、F、B、D'四点共圆，即MBFMD'F而MBFEDMO由、知，DMED'MF，故ME=MF。D证法如图，设直线DA与BC交于点N。对NEF及截线AMB，NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANBFMEDNCMEA

3、NBF1，DN1AC'CMECF图2由上述两式相乘，并注意到ENANDNCNBPMFM2ANNDBFCFBFCF得AEEDBNCNAEEDME2OPM+MFMQ-MFPM2MF2DPM-MEMQ+MEPM2ME2化简上式后得ME=MF。[]图3不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法（给出）如图，并令CFQVBFQBD'-1-/6DAB=DCBNADC=ABCDMP=CMQAMP=BMQAPMMQaPEMEx，MFyMSAMESFCMSEDMSFMB1，即DO由SEDMSFMBS

4、AMESFCMAMAEsinFMCMsinEDMDsinMFMBsin1MCCFsinEMMDsinFBBMsinMAMEsin图4化简得MF2CFFBQFFPayaya2y2ME2AEEDPEEQaxaxa2x2即y2a2y2，从而xy,MEMF。x2a2x2证法令PMDQMC，QMBAMP，以点M为视点，对MBC和MAD分别应用张角定理，有sinsinsinsinsinsinA，MFMCMBMEMDMAα上述两式相减，得PEδγ11sinsinγMδsinMCMDMBMAMFMEMCMDMAMBβDO设G、

5、H分别为CD、AB的中点，由OMPQ，有MBMA2MH2OMcos902OMsin图5MDMC2MG2OMcos902OMsin于是sin11，而180，知sin0，故ME=MF。MF0ME（二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。-2-/6CFQBCαFQβB2yA1CPEFQ2M2证法（单墫教授给出）如图，建立直角坐标系，则圆的方程可1设为DOx2y2

6、2aR。直线AB的方程为yk1x，直线CD的方2程为yk2x。3B由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为图6x2ya2yk1xyk2x04R2令y0，知点E和点F的横坐标满足二次方程k1k2x2a2R20，由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1x2，故ME=MF。[]证法如图建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为2xa222PyrEA直线AB、CD的方程可写为yk1x,yk2x。D又设A、B、C、D的坐标为xi,yi,i1,2,3,4，2则x1、x4分别是二次方程22k22x2r2的一根。xak

7、12x2r2,xaAD在y轴上的截距为y1yyx1k1x1k2x4k1x1x1k1k2x1x441x4x1x4x1x2x1。同理，BC在y轴上的截距为k1k2x2x3。注意到x1、x2是方程x3x21k12x22axa2r20的两根，x3、x4是方程1k22x22axa2r20的两根，所以x1x22ax3x4，从而易得x1x2a2r2x3x4x1x2x3x40，即MEMF。x1x2x3x41OMC1FQ2B图7P3BFCVMOxAEUDQ图8-3-/6证法如图，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B

8、三点共线，令BMx，CMx，则CFsinFBsin2CBsin2即CBsinFCcosBcosADsinEDcosAcos作OUCD于U，作OVAB于V。注意到ABCD由RtOUM与RtOVM可得BADCcoscos将代入可得EF，即ME=MF。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。-4-/6二蝴蝶定理的推广和猜想（一）猜想在蝴蝶定理中,、分别是、和的交点.如果、分别是、和延长线的交点,我们猜想,