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时间:2020-02-25
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1、阶段质量检测(一)推理与证明(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理正确的是( )A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sinx+sinyC.把a(b+c)与ax+y类比,则有ax+y=ax+ayD.把(a+b)+c与(xy)z类比,则有(xy)z=x(yz)解析:选D (xy)z=x(yz)是乘法的结合律,正确.2.用反证法证明命题“若
2、关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是奇数”时,下列假设正确的是( )A.假设a,b,c都是奇数B.假设a,b,c都不是奇数C.假设a,b,c至多有一个奇数D.假设a,b,c至多有两个奇数解析:选B 命题“a,b,c中至少有一个是奇数”的否定是“a,b,c都不是奇数”,故选B.3.求证:+>.证明:因为+和都是正数,所以为了证明+>,只需证明(+)2>()2,展开得5+2>5,即2>0,此式显然成立,所以不等式+>成立.上述证明过程应用了( )A.综合法 B.分析法C.综合法、分析法配合
3、使用D.间接证法解析:选B 证明过程中的“为了证明……”,“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式.4.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了( )A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项解析:选D 当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为=,并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A.各正三角形内的任一点
4、B.各正三角形的中心C.各正三角形边上的任一点D.各正三角形的某中线的中点解析:选B 正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类比正三角形的中心.6.已知函数f(x)=5x,则f(2019)的末四位数字为( )A.3125B.5625C.0625D.8125解析:选D 因为f(5)=55=3125的末四位数字为3125,f(6)=56=15625的末四位数字为5625,f(7)=57=78125的末四位数字为8125,f(8)=58=390625的末四位数字为0625,f(9)=59=1953125的末四位数字为3125,故周期T
5、=4.又由于2019=504×4+3,因此f(2019)的末四位数字与f(7)的末四位数字相同,即f(2019)的末四位数字是8125.7.用数学归纳法证明不等式“1+++…+≤+n(n∈N+)”时,第一步应验证( )A.1+≤+1B.1≤+1C.1+++≤+2D.1<+1解析:选A 当n=1时不等式左边为1+,右边为+1,即需要验证:1+≤+1.8.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩
6、由高到低的次序为( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙解析:选A (1)若甲预测正确,则乙、丙预测错误,即①甲的成绩比乙高;②丙的成绩不是最高的;③丙的成绩比乙低.由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙,A正确.(2)若乙预测正确,则甲、丙预测错误,即①乙的成绩比甲高;②丙的成绩最高;③丙的成绩比乙低.由上可知②③相矛盾,故此情况不成立.(3)若丙预测正确,则甲、乙预测错误,即①乙的成绩比甲高;②丙的成绩不是最高的;③丙的成绩比乙高.由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲,与②相矛盾,此情况不成立.故选A.9.对于函数f
7、(x),g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使
8、f(x0)-g(x0)
9、≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出下列四对函数:①f(x)=x2,g(x)=2x-3;②f(x)=,g(x)=x+2;③f(x)=e-x,g(x)=-;④f(x)=lnx,g(x)=x-.其中在区间(0,+∞)上存在“友好点”的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选C 对于①,
10、f(x)-g(x)
11、=
12、x2-(2x-3)
13、=
14、(x-1)2+2
15、≥2,所以函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上不存在“友好点”,故①错,应排除A、D;对于②,
16、
17、f(x)-g(x)
18、=
19、-(x+2)
20、
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