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1、复数与复变函数课件第一章-复数与复变函数课件复变函数与积分变换的主要内容1复数与复变函数2解析函数3复变函数的积分4级数5留数及其应用7Fourier变换8Laplace变换第一章复数与复变函数§1.1复数与复平面§1.2复平面点集§1.3复变函数当复数的虚部为零、实部不为零(即y=0,)时，复数x+iy等于x+i0为实数x,而虚部不为零(即)的复数称为虚数.在虚数中,实部为零(即x=0,)的称为纯虚数.例如,3+0i=3是实数,4+5i,-3i都是虚数,而-3i是纯虚数.数x+iy(或x+yi)的,并记做称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中x和y
2、是任意两个实数.把这里的x和y分别称为复显然,z=x+iy是x-yi的共轭复数,即共轭复数复数x-iy称为复数x+yi的(其中x,y均为实数),并记做.1.1.2复数的四则运算设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数,如果x1=x2,y1=y2,则称z1和z2相等,记为z1=z2.复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、减、乘、除运算定义如下：(1)复数的和与差(2)复数的积(3)复数的商复数运算的性质1.交换律2.结合律3.分配律解例1.1设求与例1.2……复数能否比较大小，为什么？思考题1：给定一复数z=x+yi,在坐标平面XOY上存
3、在惟一的点P(x,y)与z=x+yi对应.反之,对XOY平面上的点P(x,y),存在惟一的复数z=x+yi与它对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以用XOY平面上的点表示复数z.这时把XOY平面平面称为复平面.有时简称为z平面.1.1.3复平面与复数的表示法显然,实数与x轴上的点一一对应,而x轴以外的点都对应一个虚数,纯虚数与y轴上的点(除原点)对应.因此,称x轴为实轴,y轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数z不加区别,即“点z”和“复数z”是同一个意思.有时用C表示全体复数或复平面.复数z也可以用以原点为起点而以点
4、P为终点的向量表示(如图).这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用表示复数z时,这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y.把向量的长度r称为复数z的或称为z的绝对值,并记做
5、z
6、.显然如果点P不是原点(即),那么把x轴的正向与向量的夹角q称为复数z的辐角,记做Argz.对每个,都有无穷多个辐角,因为用q0表示复数z的一个辐角时,就是z的辐角的一般表达式.有时,在进行说明后,把主辐角定义为满足的方向角；但当z=0时,
7、z
8、=0.满足的复数z的称为主辐角(或称辐角的主值),记做argz,则的辐角,这时上式仍然成立.当z=0时,Argz没有意义,
9、即零向量没有确定当时,有说明：当z在第二象限时，利用直角坐标与极坐标之间的关系数z的三角表示式.再利用Euler公式复数z=x+yi可表示为称为复复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=
10、z
11、,q=Argz.解xy复数的三角表示式为复数的指数表示式为例1.3将化为三角表示式与指数表示式.解：显然,r=
12、z
13、=1,又因此将化为三角表示式与指数表示式.练习：当时,当时,共轭复数的几何性质一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的.复数和与差的模的性质从几何上看,复数z2-z1所表示的向量,与以z1为起点、z2为终点的向量相等(方向相同,模相
14、等).复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算.思考题：复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？一、利用指数表示进行复数的乘除法运算设乘法即(在集合意义下?)两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；(集合意义)1.1.4乘幂与方根两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为先将z1按逆时针方向旋转角度,再将模变到原来的r2倍,于是所得的向量z就表示乘积一、利用指数表示进行复数的乘除法运算设除法(在集合意义下)两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；即1.1.4乘幂与方根例1.4计算解由有附一些“
15、简单”复数的指数形式解由有练习复数z的乘幂，设z是给定的复数，n为正整数，n个z相乘的积称为定义二、复数的乘幂与方根1.复数的乘幂设则法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。即记为二、复数的乘幂与方根1.复数的乘幂由以及复数的三角表示式可得在上式中令r=1，则得到棣莫弗(DeMoivre)公式：棣莫弗(DeMoivre)公式进一步易得到正弦与余弦函数的n倍角公式。例由此引出方根的概念。此外，显然有.复数w，二、复数的乘幂与方根2.复数的方根称为把复数开n次方，或者称为求复数的复数求方根是复数乘幂的逆运算。设是给定的复数，n是正整数，求所有满足的定义n
16、次方根，记作或复数的n次方根一般是多值的。二、复数的乘幂与方根2.
