2021届高考数学解答题挑战满分专项1.13 导数-不等式的证明（理）（解析版）.docx

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1、2021届高考数学（理）解答题挑战满分专项专题1.13导数-不等式的证明1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．2．利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3

2、）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．1．已知函数为常数）．（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；（2）讨论函数函数的单调性；（3）当，时，求证：．【试题来源】2021届高三数学二轮复习【答案】（1），；（2）答案见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）算出曲线在处的切线方程，然后与比较系数即可；（2）分和讨论即可；（3）构造函数，利用导数证明即可．【解析】（1），（1），（1），曲线在处的切线方程为，即，由题意：，，，；（2），设，当时，在上恒成立；当时，令，即，解得，令，即，解得．综上所述，当时，

3、函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减．（3）证明：令，则，令，则，令得令得，在上单调递减，在上单调递增，（1）（1），，，存在使，且当或时，，当，时，，在上递增，在，上递减，在上递增，又（1），所以有：，即，．【名师点睛】证明不等式或转化为证明或，进而构造辅助函数．2．已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围．（3）求证：，．【试题来源】2021届高三数学二轮复习【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）证明见解析．【解析】（1）由，①当时，显然；②当时，由得，显然当时，；所以当时，

4、在上单调递增；当时，在上递增；（2）由（1）知，当时，递增，且，不合题意，舍去．当时，由（1）知，当时，，当时，所以当时，有极小值也是最小值，即，依题意，①再令（a），，则（a），于是（a）时，，同理知当时，（a）有极大值也是最大值，所以（a）（1）②比较①②式可得，（a），即为所求．（3）由（2）知对，有，于是令，则有即有，即（当且仅当时取等号）所以有即，即证．【名师点睛】解决恒成立问题一般转化为；关键点【名师点睛】第三问只需让左边的通项小于右边的通项，借助于题目中的不等式进行赋值，转化为是关键．3．已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）若

5、当时，，求证：．【试题来源】江西省重点中学协作体（鹰潭一中、上饶中学等）2021届高三下学期第一次联考【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）对函数求导，分和两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证，由于，即证．令，对函数求导并化简，构造二次求导，令分子为，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证．【解析】（1），当，定义域为，令，得，得在单调递增，在单调递减当，定义域为，令，得，得在单调递增，在单调递减（2）要证，，即证．令，则，设，则

6、，令，其中，．当时，，此时函数单调递减；所以，，则对任意的，，所以，函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，存在使得，可得．当时，，即，此时函数单调递减；当时，，即，此时函数单调递增．，令，则函数在时单调递减，所以，，所以，因此，对任意的，，即．4．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明：．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1），；（2）证明见解析．【分析】（1）根据切线方程，可得，，对求导，根据导数的几何意义，可得表达式，将x=1代入，可得，即可求得，的值；（2）将题干条件等价于，设，求

7、导可得，设，可得的零点，即可得的单调区间和极值点，进而可得的最小值，化简整理，即可得证．【解析】（1）由切线方程可得，．定义域为，．所以，，解得，．（2）等价于．设，则．设，则函数在单调递增，因为，，所以存在唯一，使．因为符号与符号相同，所以当时，，当时，．故在单调递减，在单调递增．所以当时，取得最小值，由得，从而，故．所以．【名师点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于需找到的零点，可得的极值点，进而求得的极小值，即为最小值，即可得证，考查计算化简，转化化归的思想，属中档题．5．已知函数．（1

8、）求在处的切线方程；（2）求证：（为自然对数的底数）．【试题来源】陕西省西安市八校2021届高三下学期第二次联考【答案】（1）；（2）证