第03章 平面问题的直角坐标解答_2007.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数作为基本未知函数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握内容如下：1、按应力函数求解平面问题时，应力函数必须满足的条件；2、逆解法和半逆解法；3、由应力求位移的过程及方法；4、从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的异同；本章学习指南1、早期应用逆解法与半逆解法曾经得出许多荷载和边界条件比较简单的平面问题的解答。但是，对于复杂荷载和边界条件的工程实际问题，难以用这些方法找出函数式解答。2、现在，对于复杂情况，可采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。3、本课程

2、不要求求解新问题的函数式解答，而是要求了解与掌握弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的。4、要求能阅读和理解弹性力学已有的解答，并为今后的工程实际应用打下一定的基础。本章学习指南弹性力学的基本任务与基本原理逆解法与半逆解法、多项式解答矩形梁的纯弯曲位移分量的求出简支梁受均匀分布荷载楔形体受重力和液体压力主要内容§3.1弹性力学基本任务与基本原理位移分量u,v应变分量exeygxy应力分量sxsytxy体力f变形协调方程约束位移几何方程物理方程平衡微分方程位移边界条件已知面力f应力边界条件混合边界条件弹性力学的基本原理解的唯一性定理解的叠加原理圣维南原理解的唯一性原

3、理解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部分表面面力已知，部分表面位移已知。当弹性体处于平衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是唯一的。当表面有部分或全部位移已知时，则位移分量也是唯一的。意义：为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。由于偏微分方程求解困难，因此在弹性力学问题分析中，经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。弹性力学解的叠加原理解的叠加原理：在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，将两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力共同作用于弹性体的解答。注意事项：由于全

4、部基本方程和边界条件是由变形前的坐标描述的，因此只有在小变形的条件下才可以使用叠加原理。即变形对外力作用点位置的改变可以忽略不计。圣维南原理及应用对于工程实际问题，构件表面面力或者位移很难满足严格的边界条件。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。圣维南原理主要内容：物体表面某一小面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。圣维南原理及应用根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅

5、在力的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力学问题得到解答。应用的注意事项：1、取代原力系的必须是静力等效力系：主失量和主矩相等。2、应用时不能讨论局部应力场。弹性力学的基本任务与基本原理逆解法与半逆解法、多项式解答矩形梁的纯弯曲位移分量的求出简支梁受均匀分布荷载楔形体受重力和液体压力主要内容§3.2逆解法与半逆解法、多项式解答体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数f，它在区域内满足应力函数表示的相容方程(2-25)：相容方程：(2-25)应力边界条件：(2-

6、15)同时在边界上满足应力边界条件(2-15)：逆解法与半逆解法、多项式解答求得应力函数后，由下式(2-24)求应力分量，然后求应变和位移分量。由于相容方程(2-25)是偏微分方程，其通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解法与半逆解法。相容方程：(2-25)逆解法与半逆解法逆解法：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数f;(2-25)(2)由式(2-24)，根据应力函数f求得应力分量;逆解法与半逆解法(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件,分析这些应力分量对应于边

7、界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数）逆解法与半逆解法(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式；半逆解法：(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；(3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；逆解法与半逆解法(5)