平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力11§3-1逆解法多项式解答逆解法:就是选取一组位移或应力的函数，由此求出应变与应力，然后验证是否满足基本方程。若满足，则求出与之对应的边界上的位移或面力，再与实际边界条件比较。如果相同或可认为相近，就可把所选取的解作为所要求的解。2一、应力函数取一次多项式应力分量(不计体力)：应力边界条件：结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力

2、。3结论：应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。二、应力函数取二次多项式1.对应于，应力分量。a>042.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。b>053.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。c>06（a）（b）（c）7三、应力函数取三次多项式对应的应力分量：结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）图图3-248具体解法如下:如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为。这里的因次是[力][长度]

3、/[长度]，即[力]。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为这就要求：前一式总能满足，而后一式要求：代入式（a），得：5将式（a）中的代入，上列二式成为：图9因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：结果与材料力学中完全相同。注意：对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。图10例逆解法设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？yxolh/2h/2(l>>h)11解：按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问

4、题的解。2.由求出应力分量123.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，因此，在的边界面上，无任何面力作用，即13在x=0，l的次要边界（小边界）上，14在x=0,l小边界上的面力如下图中(b)所示，而其主矢量和主矩如(c)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。FFM(c)(b)15§3-2位移分量的求出以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况将应力分量代入物理方程7图16得形变分量：（a）再将式（a）代入几何方程：得：前二式

5、积分得：（b）（c）其中的和是任意函数。17等式左边只是的函数，而等式右边只是的函数。因此，只可能两边都等于同一常数。于是有：积分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常数、、须由约束条件求得。（d）9将式（c）代入几何方程（b）中的第三式18（一）简支梁如图3-3（a），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），就得到简支梁的位移分量：梁轴的挠度方程：10与材力对比19（二）悬臂梁如图3-3（b），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：梁轴的挠度方程：二、平面应变的情况只要将平面应力情况下的形变

6、公式和位移公式中的换为，换为即可。20§3-3半逆解法简支梁受均布载荷半逆解法又叫凑合解法，就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分为已知，然后在基本方程和边界条件中，求另一部分。这样便得到了全部未知量。21设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。图3-4用半逆解法。假设只是的函数：则：对积分，得：解之，得：其中，、是任意函数，即待定函数。（a）（b）12分析σy的边界条件（主要边界）22现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。

7、为此，对求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：1323前面两个方程要求：第三个方程要求：（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：（e）相应的应力分量为：（f）（g）（h）1424因为面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样，和应当是的偶函数，而应当是的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：图3-4相应的应力分量为：（f）（g）（h）25这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件

8、都满足，除非常数、…等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（i）26（一）考察上下两边的边界条件图3-4得：27联立求解，得：将上面所得常数代入应力分量表达式（i），