TXLX3平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答1第三章平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷习题课12一、应力函数取一次多项式§3-1多项式解答平面问题的直角坐标解答应力分量：应力边界条件：结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线形函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式1.对应于，应力分量。23平面问题的直角坐标解答

2、结论：应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（a）。2.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。图3-1（a）（b）（c）34平面问题的直角坐标解答3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（c）。三、应力函数取三次多项式对应的应力分量：结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）图图3-245平面问题的直角坐标解答具体解法如下:如图3-2,取单位宽度的

3、梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩为。这里的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为，这就要求：将式（a）中的代入，上列二式成为：前一式总能满足，而后一式要求：代入式（a），得：56平面问题的直角坐标解答因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：结果与材料力学中完全相同。注意：对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。67§3-2位移分量的求出平面问题的直角坐标解答以矩形梁的纯弯曲问

4、题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况将应力分量代入物理方程78平面问题的直角坐标解答得形变分量：（a）再将式（a）代入几何方程：得：前二式积分得：（b）（c）其中的和是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式89平面问题的直角坐标解答得：等式左边只是的函数，而等式右边只是的函数。因此，只可能两边都等于同一常数。于是有：积分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常数、、须由约束条件求得。（d）910平面问题的直角坐标解答（一）简支梁如图3-3（a），约束条件为：由式（d）得

5、出：代入式（d），就得到简支梁的位移分量：梁轴的挠度方程：图3-3（a）（b）1011平面问题的直角坐标解答（二）悬臂梁如图3-3（b），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：梁轴的挠度方程：二、平面应变的情况只要将形变公式和位移公式中的换为，换为即可。1112§3-3简支梁受均布载荷平面问题的直角坐标解答设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。图3-4用半逆解法。假设只是的

6、函数：则：对积分，得：解之，得：其中，、是任意函数，即待定函数。（a）（b）1213平面问题的直角坐标解答现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：1314平面问题的直角坐标解答前面两个方程要求：第三个方程要求：（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：（e）相应的应力分量为：（f）（g）（h）1415平面问题的直角坐标解答这些应力分量满足平

7、衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数、…等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。因为面是梁和荷载的对称面，所以应力分部应当对称于面。这样，和应当是的偶函数，而应当是的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（一）考察上下两边的边界条件（i）1516平面问题的直角坐标解答整理，得：由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：将上面所得常数代入应力分量表达式

8、（i），得：（k）（l）（j）1617平面问题的直角坐标解答（二）考察左右两边的边界条件由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：（m）（n）将式（j）代入式（m），得：积分，得：将式（j）代入式（n），得：积分，得：1718平面问题的直角坐标解答将式（l）代入，上式成为：另一方面，在梁的右边剪应力满足：将和代入式（j），得：（p）将式（p）、（k）、（l）整理，得应力分量：（q）1819§3-4楔形体受重力和液体压力平面问题的直角坐标解答设有楔形体,如图3-6a所示