平面问题地直角坐标解答.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答要点——用反逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷主要内容§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——反逆解法其中：a、b、c为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.一次多项式（2）（3）对应的应力分量：

2、若体力：X=Y=0，则有：结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式（1）其中：a、b、c为待定系数。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)（3）由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xyxy试求图示板的应力函数。例：xy3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2

3、）(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(

4、3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。4.四次多项式（1）检验φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：——应力分量为x、y的二次函数。（4）特例：（须满足：a+e=0）总结：（多项式应力函数的性质）（1）多项式次数n<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对

5、应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：§3-2位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)（2）位移分量

6、(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x=x0=常数（2）位移分量xyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。（2）将下式中的第二式对x求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。

7、即——材料力学中挠曲线微分方程2.位移边界条件的利用（1）两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ

8、作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）得到：求得：此结果与前面情形相同。（为什么？）（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移