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《分式方程增根的妙用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途分式方程增根的妙用解分式方程可能会产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们解题带来了麻烦,然而巧妙利用增根也可使之“变废为宝"，帮助我们寻找解题途径，现举例说明．例1。（重庆）若关于的方程有增根，则的值为___________.分析:分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;即增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值，所以增根只能是，它应该是原方程去分
2、母后的整式方程的根.解：因为分式方程有增根，所以增根只能是，原方程去分母得:,将代入并整理得，故应填。例2。（山东)若解分式方程－＝产生增根,则的值是（）.(A）－1或－2(B）－1或2（C）1或2（D）1或－2分析：解分式方程会产生增根，则产生的增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值,即增根就是或。因此可以将或分别代入去分母后的整式方程中来求解。解：因为解此分式方程会产生增根，所以增根就是或。原方程去分母得：，分别将或代入，求得或。故选（B）。例3。(2009年绥化）若关于的方程无解,则．分析：分式方程无解是指不论未知数取
3、何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一)原方程化去分母后的整式方程无解；（二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解．本题属于第二种情况，即原方程去分母之后得到的整式方程的解恰好是原分式方程的增根：。解：方程两边都乘以，得．解这个方程，得．因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根，即.所以,解得．故当时,原方程无解．个人收集整理勿做商业用途例4．(2009年牡丹江）若关于的分式方程无解，则．分析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程，除了考虑这个整式方程
4、的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况.解:方程两边都乘以，得，整理得.若原方程无解，则有两种情形：（1）当时，，方程为,此方程无解，所以原方程无解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为或，.把代入，a值不存在；把代入，解得．综上所述，当或时，原方程无解．个人收集整理勿做商业用途分式方程有增根与无解的关系分式方程有增根与分式方程无解之间有区别吗?是一回事吗？不仔细推敲,许多同学会认为分式方程有增根解与分式方程无解是同一回事。事实上，并非如此。同学们请看，分式方程有
5、增根，指的是解分式方程求出的解是原分式方程变形后所得整式方程的解，但这个解并不是原分式方程的解，即这个解使最简公分母为0。例1（2009年山西省中考试题）解分式方程+2＝,可知方程（)A。解为x＝2B。解为x＝4C。解为x＝3D。无解分析 由于2－x＝－（x－2）,所以方程的最简公分母（x－2），此时,可在方程的两边同乘以（x－2），化分式方程为整式方程，进而求解检验，注意2不能漏乘最简公分母.解 去分母，得1－x+2＝－1，解得x＝2,当x＝2时，3（x－2）＝0，所以x＝2是增根,原方程无解。故应选D.在本例中，分式方程有
6、增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，事实上，有增根的分式方程并不全是无解的.例2（2009年牡丹江市中考试题）若关于x的分式方程－＝1无解，则a＝＿＿＿.分析 已知关于x的分式方程无解，则表明方程有增根，此时当x－1＝0，或x＝0都会使方程出现增根而导致方程无解，由此，可先按照正常的解分式方程的第一步，化分式方程为整式方程，再将增根代入求得.解 去分母，得x（x－a）－3(x－1）＝x（x－1），因为原方程无解，即原方程有增根，所以x－1＝0，即x＝1，或x＝0。当x＝1时，有1×(1－a)－3（1－1)＝1×（1
7、－1），解得a＝1;当x＝0时,有0×（0－a）－3（0－1)＝0×(0－1）,解得a＝－2.所以a＝1,或－2。对于求解分式方程无解问题时,其中一种方法就是先将分式方程转化为整式方程，进而利用增根代入即可求得字母系数.事实上，本题在去分母后可化简，得(a+2）x＝3，此时，由方程无解可知a+2＝0，即a＝－2，这正是当增根x＝0时求得的.个人收集整理勿做商业用途例3 若关于x的方程＝m无解,求m的值.分析 先直接按照去分母的方法，化分式方程为整式方程，进而利用无解的意义讨论。解 一方面，去分母、整理，得（1一m）x＝一4m…
8、①，显然，当1一m＝0,而4m≠0时方程无解,此时，m＝l.另一方面,若原方程有增根,即知增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，得（1一m）×3＝一4m，解得m＝－3。综上所述，当m＝1，或m＝－3时,原分式方程无解.通过对本例的求解，我们就可以发现，分式方程有增根时，原方程一
