巧用换元法解分式方程(施嘉玮).doc

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1、巧用换元法解分式方程(施嘉玮）例1.解分式方程:解析:若单纯去分母，解答过程将会变得很繁琐。于是可以尝试令，原式就变为,得.解上述方程，得，又。虽然过程中解了两次方程，但是较之于去分母解原方程，计算更为方便.但部分情况下用换元法不能直接将分母全部换掉，此时就需要灵活变通,如下题例2.解析:本题中分母看似没有规律，但是发现都是的形式,此时就可令,.总结：在解某些分式方程时,会出现分母/分子形式复杂的情况,此时可以寻找分母/分子的规律，并且利用换元法使得分母/分子变得更为简洁，再行解答。虽然此过程需要解两次甚至多次

2、方程，但是运算量以及运算难度都大为减小，因此有必要熟练掌握。情景应用题（黄贞琪）【例题】某中学本学期前三周每周都组织六年级学生进行一次体育活动,全年级400名学生每人每次都只参加球类或田径类中一个项目的活动.假设每次参加球类活动的学生中，有20%改为参加田径类活动；同时每次参加田径类活动的学生中，有30％改为参加球类活动。（1）如果第一次与第二次参加球类活动的学生人数相等,那么第一次参加球类活动的学生应有多少名？（2）如果第三次参加球类活动的学生不少于200名，那么第一次参加球类活动的学生最少有多少名？【解析】

3、(1）设第一次参加球类活动的学生为名，则第一次参加田径类活动的学生为名，第二次参加球类活动的学生为名。由题意得:解之得：（2)第二次参加球类活动的学生为：。第三次参加球类活动的学生为：。由，得，又当时，第二次、第三次参加球类活动与田径类活动的人数均为整数。所以符合题意。答：（1）第一次参加球类活动的学生应有240名；(2）第一次参加球类活动的学生最少有80名。巧添辅助线（郭嫣）例题：如图1,是等腰直角三角形，,是边上的中线，过C作的垂线，交于点，交于点,求证：.图1解析：由已知内容，我们可以很容易看出此题可通过

4、证明全等的方式来求证两个角的相等。但在现有条件中，我们不能找到全等的三角形，那就自然想到添加辅助线的方法了。常规的截长补短法,必须在有角平分线的基础上才能使用，在这个题目中是无法使用的.但在所在三角形中有一直角,因此,我们可以通过创造直角来构造全等三角形。如图2，作交延长线于点，证明≌（A。S.A）得到。然后,再证明≌（A。S。A），得到,从而结论得证。总结：揭示图形中隐含的性质当条件与结论间的逻辑关系不明朗时,可以通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来,以便取得过渡性的推论,达到推导出

5、结论的目的.图2因式分解法应用（周晓芳）拆项补项法的运用例1：分解因式：.解析：解法一：将常数项拆成原式。解法二：将一次项拆成原式x3.解法三：将三次项拆成原式总结:拆项补项法是指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项).目的是使多项式能用分组分解法、提公因式法或是运用公式法进行因式分解。所以用拆项补项法必须要熟练应用这三种方法。分组分解法的运用：例1：已知，求。解析：由得所以,。例2：分解因式：。解析：原式.总结：分组分解法是指把多项式分成几组来分解因式。一般的分组分解法有两种形式：二二分法,三

6、一分法。上述两题将原式分组成两个可因式分解的式子，在利用十字相乘发进行因式分解。分组分解法法的运用必须先熟练运用拆项补项法。分组分解法原则：（1）分组后可以直接提取公因式;(2)分组后可以直接应用公式比较二次根式的大小(丁依凌）二次根式是初中数学教学的重点,而比较二次根式的大小也是学生经常遇到的难点，下面介绍几种常见的方式解决此类问题.例1:比较与的大小.解析：两个根式相加不能直观的通过化简来比较大小，这时候通过观察，就可发现,我们可以利用完全平方的形式解决问题。解：∵,∴∴例2:设，，，则试比较、的大小.解析

7、：这道题是含有字母的根式比较大小，重要的是观察出题目中的,,这几个值，便可以此为基础进行“分母有理化”。解：因为。同理，又因为，所以,即.小技巧：这道题除了用“分母有理化”，其实也可以用“特殊值法”,例如令等，如此可知，当然要记熟，，，这些常用数。思考：如进一步推论，能否得出结论：若够大，则有。