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1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2014年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分，共64分，）1.函数f(x)x5243x的值域是.2.已知函数y(acos2x3)sinx的最小值为3，则实数a的取值范围是.3.双曲线x2y21的右半支与直线x100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.4.已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a13,b11,a2b2,3a5b3，且存在常数,使得对每一个正整数n都有anlogbn，则.5.函数
2、f(x)a2x3ax2(a0,a1)在区间x[1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.7.正三棱柱ABCA1B1C1的9条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角BA1PB1,则sin.8.方程xyz2010满足xyz的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数f()ax3bx2cx(a0)，当0x1时，f(x)，试求axd1的最大值.10.（20分）已知抛物线y26x上的两个动点A(x1,y1)
3、和B(x2,y2)，其中x1x2且x1x24.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值.11.（20分）证明：方程2x35x20恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得2ra1ra2ra3.51声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》解答1.[3,3]提示：易知f(x)的定义域是5,8，且f(x)在5,8上是增函数，从而可知f(x)的值域为[3,3].2.3a12提示：令sinxt，则原函数化为g(t)(at2a3)t，即2g(t)at3(a3)t.
4、由at3(a3)t3，at(t21)3(t1)0，(t1)(at(t1)3)0及t10知at(t1)30即a(t2t)3.（1）当t0,1时（1）总成立；对0t1,0t2t2；对1t0,1t2t0.从而可知3a12.423.9800提示：由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设yk(k1,2,,99)与双曲线右半支于Ak,交直线x100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99k，从而在x轴上方区域内部整点的个数为99(99k)99494851.k1又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为24851989800.4.333提示：设{an}的公差为d,{bn
5、}的公比为q，则3dq,（1）3(34d)q2，（2）（1）代入（2）得912dd26d9，求得d6,q9.从而有36(n1)log9n1对一切正整数n都成立，即6n3(n1)log9对一切正整数n都成立.从而log96,3log9，2声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》求得33,3，333.5.1提示：令axy,则原函数化为g(y)y23y2,g(y)在(3,+)上是递增的.42当0a1时，y[a,a1],g(y)maxa23a128a12a1，2所以g(y)min(1)23121
6、；224当a1时，y[a1,a]，g(y)maxa23a28a2，所以g(y)min2232121.14综上f(x)在x[1,1]上的最小值为.1246的概率为2176.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于，从而先投掷人的获胜概率173612为7(5)27(5)477112.121212121212125171447.10提示：解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在4直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则B(1,0,0),B1(1,0,2),A1(1,0,2),P(0,3,1)，从而，BA1(2,0,2),BP(1,3
7、,1),B1A1(2,0,0),B1P(1,3,1).设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量zA1是m(x1,y1,z1)、n(x2,y2,z2)，则C1mBA12x12z10,B1mBPx13y1z10,PAnB1A12x20,OnB1Px23y2z20,CyBx3声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》由此可设m(1,0,1),nurrurr(0,1,3)，所以mnmncos，即322coscos6.4所以sin10.4A1解法二：如图，PCPC1,PA1PB.设A1B与AB
8、1交于点O,则OA1OB,OAOB1,
