2021届新课改地区高三数学专题复习第15讲 函数与方程（解析版）.docx

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1、第15讲：函数与方程一、课程标准1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)

2、有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

3、．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像交点(x1，0),_(x2，0)(x1，0)无交点零点个数21016/164、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、自主热身、归纳总结1、函数

4、f(x)＝－的零点个数为()A.0　　　　　　　　B.1　　　　　　　　　C.2　　　　　　　　D.3【答案】B【解析】　f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．故选B.2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)A．(1，2)　　　　　　　B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)【答案】B【解析】B　由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个

5、数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3、设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0，1)　　　　　　　B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】B【解析】B　∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1，2)．16/164、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)A．lnx

6、＝1－xB．ex＝C．2－x2＝lg

7、x

8、D．cosx＝

9、x

10、＋1【答案】ABD【解析】　对于A，设f(x)＝lnx＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故lnx＝1－x有唯一解，符合；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合；对于C，设h(x)＝x2＋lgx－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lgx－2有唯一零点，又H

11、(x)＝2－x2－lg

12、x

13、为偶函数，则2－x2＝lg

14、x

15、有两个解，不符合；对于D，因为cosx∈[－1，1]，

16、x

17、＋1≥1，当且仅当x＝0时cosx＝x－1，即cosx＝

18、x

19、＋1有唯一解，符合．5、若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2，3)内有零点，则k＝________．【答案】4【解析】因函数f(x)在区间(2，3)内递增，则f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)<0，整理得(3－k)·(log23＋3－k)<0，解得3

20、3＋log23<5.因为k∈Z，所以k＝4.6、已知函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】a≥.【解析】　函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，等价于函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上有一个零点，或两个零点(包括两个相等的零点)．①当函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上有一个零点时