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1、截长补短法例1.已知，如图1-1,在四边形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分/ABC.求证：/BAD+ZBCD=180.分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF1BC于点F,如图1-2BD平分/ABC,.DE=DF,在RtAADE与Rt^CDF中，；DE=DFAD=CD.RtXDE话t3DF(HL),，DAE=ZDCF.又/BAD+ZDAE=180,..BAD+ZDCF=18
2、0即/BAD+ZBCD=180例2.已知，如图3-1,Z1=Z2,P为BN上一点，且PD1BC于点D,AB+BC=2BD.求证：ZBAP+zBCP=180.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角,即证明/BCP=ZEAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2精品资料.彳=/2,且PD1BC,..PE=PD,在RtABPE与Rt田PD中，PE=PDBP=BP•Rt田PE话t田PD(HL),「BE=BD..AB+BC=2BD,.AB+BD+DC=BD+BE,
3、「AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.图3-2在RtAAPE与Rt^CPD中，PE=PDPEA=PDCAE=DC.RtMPE^Rt^CPD(SAS),/.PAE=/PCD又•.zBAP+ZPAE=180,.-.BAP+ZBCP=180例3.如图2-1,AD/BC,点E在线段AB上，ZADE=ZCDE,ZDCE=ZECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.精品资料证明：在CD上截取CF=
4、BC,如图2-2在AFCE与ABCE中，CF=CB2FCE=/BCECE=CE.zFCE^ZBCE(SAS),，2=/1.又.ADBC,••.zADC+zBCD=180,••.DCE+/CDE=902+Z3=90°,彳+4=90°,.1.3=4在AFDE与AADE中，FDE=.ADE」DE=DE23=24图2-1.zEDE^ZADE(ASA),.DF=DA,.CD=DF+CF,，CD=AD+BC.例4.已知：如图4-1,在^ABC中，/C=2/B,/1=/2.求证：AB=AC+CD.图4-1分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即
5、延长精品资料AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）延长AC至ijE,使DC=CE,则/CDE=/CED,如图4-2./ACB=2/E,ZACB=2ZB,.ZB=ZE,在AABD与AAED中,.1=/22B=NEAD=AD.zABD^ZAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,.AB=AC+DC.方法二(截长法)在AB上截取AF=AC,如图4-3在MFD与AACD中，Iaf=AC/=/2、AD=ADAB图4-2图4-3..AFD^zACD(SAS),.DF=DC,/AFD=/ACD.又./ACB=2
6、/B,FDB=/B,..FD=FB.•AB=AF+FB=AC+FD,「AB=AC+CD.精品资料WelcomeToDownload!!!欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料
