2021_2022学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1第2课时指数幂及其运算学案新人教A版必修第一册.doc

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1、优选第2课时　指数幂及其运算学习任务核心素养1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经

2、费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？知识点1　分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?[提示]①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)8/8优选(1)0的任何指数幂都等于0.(

3、　　)(2)5＝.(　　)(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)(4)a可以理解为个a相乘．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.将下列根式化为分数指数幂：①＝________；②＝________；③＝________(m≥0)．[答案]①16②x③m知识点2　有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3.下列运算结果中，正确的是(　　)A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2C．

4、(－1)0＝1D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]知识点3　无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)5是一个确定的实数．(　　)8/8优选(2)指数幂aα的指数α只能取无理数．(　　)(3)＝8.(　　)[答案](1)√　(2)×　(3)√类型1　根式与分数指数幂的互化【例1】(对接教材P106例题)将下列根式化成分

5、数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)；(3)(b>0)．[解](1)原式＝根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．[解]8/8优选类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值【例2】　计算下列各式(式中字母均是正数)：[解]＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a.＝m2n－3＝.指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进

6、行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．8/8优选(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．2．化简求值：(1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)2÷4×3.[解]　(1)原式＝＋(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.类型3　条件求值问题【例3】　已知a＋a＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

7、代数式“a＋a”与“a＋a－1、a2＋a－2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现他们间的转化与化归？[解]　(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.8/8优选(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]　令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]　由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a

8、－1)＝±8×14＝±112.解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往