2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.5空间中的距离学案含解析新人教B版选择性必修第一册.doc

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1、考试1．2.5　空间中的距离　导思1.空间中的距离有哪些，它们分别是怎样定义的？2．如何求这些空间距离？　空间中的距离名称概念求法两点之间的距离空间中两个点连线的线段长求向量的模点到直线的距离过直线外一点作直线的一条垂线段的长求向量的模点到平面的距离过平面外一点作平面的一条垂线段的长d＝，其中A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量线到面的距离当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离转化为求点到平面的距离-17-/17考试面到面的距离(公垂线段长)当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离　空间距离的几种形式的求解方法之间有何关系

2、？提示：点点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点面距，利用平面的法向量来求解．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)点到线的距离就是垂线的方向向量的模．()(2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离．()(3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离．()提示：(1)×.点到线的距离可用空间向量的模来求解，但不一定是垂线的方向向量的模．(2)×.直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离．(3)×.两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平

3、面的距离．2．已知A(1，1，0)，B(－1，2，1)，则A，B两点间的距离是()A．6B．C．D．5【解析】选C.因为A(1，1，0)，B(－1，2，1)，所以A，B两点间的距离是＝.3．(教材例题改编)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为________．【解析】-17-/17考试由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝.答案：关键能力·合作学习类型一　空间两点之间的距离(逻辑推理、数学

4、运算)1．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为()A.1B．2C．D．【解析】选C.

5、

6、2＝

7、＋＋

8、2＝

9、

10、2＋

11、

12、2＋

13、

14、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2，所以

15、

16、＝.2．如图，已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为()-17-/17考试A.1B．C．D．2【解析】选B.因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA

17、1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，所以＝＋＋，所以＝(＋＋)2＝2＋2＋＋2·＋2·＝1＋1＋4＋2×1×2×cos120°＋2×1×2×cos120°＝2.所以线段AC1的长为.3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为________．【解析】设＝p，＝q，＝r，由题意可知，

18、p

19、＝

20、q

21、＝

22、r

23、＝1，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°，＝－＝－＝(q＋r－p)，所以

24、

25、2＝·＝·(q＋r－p)＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝×2＝，所以

26、

27、＝，即MN的长为.-17

28、-/17考试答案：计算两点间的距离的基本方法(1)把线段用向量表示，然后利用

29、a

30、2＝a·a，通过向量运算求

31、a

32、.(2)求解的图形适合建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离).类型二　点到直线的距离(逻辑推理、数学运算)【典例】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．四步内容理解题意条件：①正方体ABCDA1B1C1D1，②E，F分别是C1C，D1A1的中点．结论：求点A到直线EF的距离．思路探求建系，用坐标法求解．-17-/17考试书写表达方法一：以D为坐标原点，分别以DA，

33、DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2).所以

34、

35、＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，所以在上的投影的长为＝.所以点A到直线EF的距离d＝＝＝.则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，设点G，且满足＝λ，⊥，则＝＝λ＝，-17-/17考试所以G，所以＝，由·＝0得λ＝，＝，＝＝.即点A到直线EF的距离为.书写表达-17-/17考试题后反思计算点到直线的距离的方法有很多，解题时要根据题意灵活

36、选择方法．