2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角学案含解析新人教B版选择性必修第一册.doc

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1、考试1.2.4　二　面　角　导思1.什么是二面角？2．怎样求二面角的大小？1.二面角的定义及相关概念二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角棱这条直线称为二面角的棱面这两个半平面称为二面角的面X围0°≤θ≤180°二面角的平面角在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角∠AOB称为二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角称为直二面角两个相交平面所成的角两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的X围

2、是相同的吗？提示：不相同．二面角的大小和二面角的平面角的大小的X围是-17-/17考试，两个相交平面所成角的大小的X围是.2．射影面积公式已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cosθ＝.如图，若△ABC在平面α上的射影为△A′BC，二面角ABCA′的大小为θ，则cosθ，S△ABC，S△A′BC的关系是怎样的？提示：cosθ＝.3．用向量的夹角度量二面角设平面α与β所成角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同

3、，则θ＝〈n1，n2〉．(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．　二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)二面角是指两个平面相交的图形．()(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直．()(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等．()提示：(1)×.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．-17-/17考试(2)√.根据二面角的平面角的定义可得．(3)×.相等或互补．2．如果一个

4、二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定【解析】选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补．3.(教材例题改编)如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.答案：90°关键能力·合作学习类型一　二面角的概念及利用定义法求二面角(数学抽象、直观想象)1．如图，正方体ABCDA1B1C1

5、D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()-17-/17考试A．B．C．D．2．已知二面角αlβ的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．B．C．D．3．在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角BADC后，BC＝a，这时二面角BADC的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】1.选B.根据题意，EF⊥平面ADD1A1，所以ED1⊥EF，ED⊥EF，所以∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED＝，ED1＝

6、＝，所以cos∠D1ED＝＝.2．选C.如图，过二面角αlβ内一点P，分别作PA∥m，PB∥n，则PA⊥α，PB⊥β，且l⊥平面PAB.设平面PAB交l于O，则l⊥OA，l⊥OB，∠AOB为二面角αlβ的平面角，即∠AOB＝，故∠APB＝，则异面直线m，n所成的角为.-17-/17考试3．选C.在边长为a的正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角BADC，由定义知，∠BDC为所求二面角的平面角，又BC＝BD＝DC＝a，所以△BDC为等边三角形，所以∠BDC＝60°.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角

7、形求角．类型二　利用三垂线定理或射影面积公式求二面角(直观想象、数学运算)【典例】已知在三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角BAPC的余弦值．四步内容理解题意条件：①三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，②AB＝BC＝CA＝PC.结论：求二面角BAPC的余弦值．思路探求可利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可用射影面积公式求解．书写表达方法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.因为PC⊥平面ABC，PC