2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选课后素养落实(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知非零向量a，b，c分别为平面α，β，γ的法向量，且a∥b，b⊥c，则α与γ的位置关系是(　　)A．垂直　　　B．平行　　　C．相交　　　D．重合A[由已知得a⊥c，故选A．]2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　　)A．(1，7，5)　　　　　B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5)　　D．(1，－7，－5)C[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与、垂直，故选C．]3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(

2、2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．P(2，3，3)　　　　　B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0)　　　　D．P(3，－3，4)A[由题意知：点P在平面α内⇔⊥n⇔·n＝0，经检验选项A符合题意．]4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)A．(－1，1，1)　　　　B．(1，－1，1)C．(1，1，1)D．(1，1，－1)C[设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得∴x＝y＝z．]5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－

3、z等于(　　)-7-/7优选A．0　　B．1　　C．　　D．3A[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km．∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．]二、填空题6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．[答案]，其中z≠07．如图所示，正四棱锥SABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________．45°[∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．∴为平面SBD的

4、一个法向量．∴〈，〉＝45°．]8．下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；-7-/7优选②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上)．①④[对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝，∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴

5、直线l与m垂直，①正确；对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即则u＋t＝1，④正确．综上，真命题的序号是①④．]三、解答题9．如图，四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB

6、的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．[解](1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF＝BC，又BC＝AD，∴EF＝AD，则由EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，-7-/7优选∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵DE⊂平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知＝，∴就是平面PBC的一个法向量．10．如

7、图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．[解]因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．-7-/7优选设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令