2021_2022学年新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量学案北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选§4　向量在立体几何中的应用4.1　直线的方向向量与平面的法向量学习任务核心素养1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点)2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点)1．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养．2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养．1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？1．直线的方向向

2、量设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示．2．平面的法向量如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量．如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α-8-/8优选的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？[提示]直

3、线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a，b分别是两条平行直线的方向向量，则a与b共线．(　　)(2)若a，b分别是两个平行平面的法向量，则a与b共线．(　　)(3)若a，b分别是两个互相垂直平面的法向量，则a与b垂直．(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)A．(2，2，6)　B．(－1，1，3)C．(3，1，1)D．(－3，0，1)[答案]A3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α

4、的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．2∶3∶(－4)[＝，＝，由法向量的定义得，a·＝0，a·＝0，所以，x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]-8-/8优选4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求

5、2a＋b

6、；(2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?[解](1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故

7、2a＋b

8、＝＝5．(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3

9、＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，点E的坐标为E．类型1　直线的方向向量及应用【例1】　在空间直角坐标系Oxyz中，已知直线l过点A(－1，0，2)，其方向向量为n＝(2，1，3)．(1)求直线l的向量表达式；(2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标．[解](1)直线l的向量表达式为＝＋tn(t∈R)．(2)由(1)知，＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令2＋3t＝0，得t＝－，所以，点B的坐标为．-8-/8优选1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线．2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn．

10、[跟进训练]1．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　)A．8个B．7个C．6个D．5个A[与向量平行的向量就是直线AB的方向向量，有，，，，，，，，共8个，故选A．]类型2　求平面的法向量【例2】　求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)、B(1，1，1)、C(3，4，3)．[解]∵＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，设n＝(x，y，z)．则由得，取z＝1得，n＝．于是单位法向量为±＝±＝±．求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如；(2)设平面的法向量为n＝(x，y

11、，z)；(3)联立方程并求解；-8-/8优选(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.[跟进训练]2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．[解]A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．∵A