2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3和差倍角的正弦余弦正切公式及恒等变换学案理新人教版.doc

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1、优选第三节　和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β．(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β．(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β．(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝．(6)T(α－β)：tan(α－β)＝．2．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos

2、_α．(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．(3)T2α：tan2α＝．1．和、差、倍角公式的转化-18-/18优选2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)半角公式(不要求记忆)：①sin＝±.②cos＝±.③tan＝±＝＝.(3)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(4)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).(5)辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).1．(基础知识：逆用公式)化简cos15

3、°cos45°－cos75°sin45°的值为(　　)A．B．C．－D．－-18-/18优选答案：A2．(基本方法：构造和角公式)已知sin＝，α∈，则sinα的值为(　　)A．B．C．D．答案：D3．(基础知识：半角公式)已知cosθ＝－，<θ<3π，那么sin＝(　　)A．B．－C．D．－答案：D4．(基本能力：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则tan2α＝________．答案：－5．(基本应用：辅助角公式)f(x)＝sin(x＋3π)－3cosx的最小值为________．答案：－题型一　两角和、差及倍角公式的直接应用　

4、[典例剖析]-18-/18优选类型1　给值(角)求值[例1]　(1)化简的结果是(　　)A．－cos1B．cos1C．cos1D．－cos1解析：原式＝＝＝＝cos1.答案：C(2)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)A．B．－C．D．－解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜.又cos＝，所以sin＝＝＝.因为－＜β＜0，所以＜－＜.又sin＝，所以cos＝-18-/18优选＝＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.答案：C类型2　给值求角[例2]　(1)(2021·某某六市联考)已知cosα＝，cos(α－

5、β)＝.若0＜β＜α＜，则β＝________．解析：由cosα＝，0＜α＜，得sinα＝＝＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∵β∈，∴β＝.答案：-18-/18优选(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________．解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，∵α∈(0，π)，∴0＜α＜.又∵tan2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β

6、)＝1.∵tanβ＝－＜0，∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.答案：－方法总结1．应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．-18-/18优选(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．2．“给值求角”实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切

7、函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的X围是，选正、余弦皆可；若角的X围是(0，π)，选余弦较好；若角的X围为，选正弦较好．[题组突破]1．设α∈，β∈，且tanβ＝，则(　　)A．α－3β＝－B．α－2β＝－C．α＋3β＝D．α＋2β＝解析：法一(化切为弦)：因为tanβ＝，所以＝，即sinβcosα＝cosβ＋cosβsinα，整理得sin(β－α)＝cosβ，即sin(β－α)＝sin.因为α∈，β∈，-18-/18优选所以β－α∈，－β∈.因为函数y＝sinx在上单调递增，所以β－α＝－β，整理得α－2β＝－.

8、法二(化弦为切)：因为＝＝＝，所以tanβ＝＝tan＝tan.因为α∈，β∈，＋∈，又函数y＝tanx在上单