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1、圆锥曲线中距离的最值问题沙洋中学张仙梅一.求圆锥曲线上一点到对称轴上一定点的距离的最值X2„1,,例1：已知椭圆1+y2=1,点A(-,0),点P是椭圆上任意一点，求
2、PA
3、的最值。变式1:已知椭圆言+、■二1，点A(0,2),点P是椭圆上任意一点，求
4、PA
5、的最值。22.A(0,2),点P是双曲线上任意一点，求
6、PA
7、的变式2:已知双曲线匕■土1169・最值。2-1变式3:已知抛物线y4x,点A(一,0),点P是抛物线上任意一点，求
8、PA
9、的最-2值。变式4:已知椭圆^+y2=i和圆x2—(y—4)2二1各有一点A、B,4求AB的最大值。变式5:「一通-X2c22一—已知椭圆一+y2=i和
10、圆x"(y-3)一5各有一点A、B,求AB的最大值。10二.求圆锥曲线上一点P到定直线的距离的最值X2例2:已知椭圆C:—92y.—-1,直线l:x+2y+18=0。(1)在椭圆上求一点(2)在椭圆上求一点4Pi,使点Pi到直线l的距离最近，并求出最近距离。P2,使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。X2V2一变式1:已知椭圆C:————1,直线l：x-y-24=0。916(1)在椭圆上求一点P1,使点P1到直线l的距离最近，并求出最近距离。(2)在椭圆上求一点P2,使点P2到直线l的距离最远，并求出最远距离。变式2：已知抛物线C：x24y,直线l：x・y-20。在抛物线求一点P,使点
11、P到直线l的距离最近，并求出最近距离。三.利用第一定义求最值__，一,一x2y2.一,一例3:设Fi、F2分别是椭圆C:——-1的左右焦点，P为椭圆上一点，M为圆43(x-4)2+(y-3)2=1上一点，则
12、PM
13、+
14、PF1
15、的最大值等于,最小值等于变式1:已知直线l经过抛物线C:y2.4x的焦点F,且与抛物线相交于AB两点。(1)若AF=4,求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值。(3)过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D,求AC[BD的最小值。12变式2：已知在直线l：x-y--9=0上任取一点P,过点P以椭圆C：土一工二1的焦点为焦点作椭圆。(1)点P在何处时，所求椭圆的
16、长轴最短?(2)求长轴最短时椭圆方程。四.利用第二定义求最值已知定点P,焦点F,当与焦点F的相应准线和点P在圆锥曲线两侧时，在圆锥曲线上求一1点M使MP—1MF取最小值的问题，就要用第二定义求。e22例4:已知椭圆C:x_--_y_二1内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点，在椭圆上有43点M,使MP^2MF取得最小值，求点M的坐标及最小值。.一X变式1:已知点P(1,-3),F为椭圆———162上一二1的右焦点，在椭圆上有一点Q,当121QF--
17、PQ取得最小值时，求点Q的坐标及最小值。变式2：如图所示，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东300方向2km处。河流的沿岸PQ
18、（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B、C修建公路的费用分别为a万元/km,2a万元/km,那么修建这条公路的总费用最低是变式3:设□F2分别是双曲线：与一当二1（a）0,b〉0）的左右焦点，点P在双曲线上，求PFi
19、
20、PF2的最值。
