完美系统时域分析

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1、二阶系统分析大中小一、二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为:dFt}deft),rdrfijT、a-—+研-——-+口泸"J=瓦+bfft)(4-5)drdt"曲其传递函数为：c'w句s-M55)=■,：=■,'s(4-K，5，Q[5+q：■$*■+£1©6)式中「⑴一系统的输入；lQ)一系统的输出；口〉口4―常系数。为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即:(4-7)若系数al和a2的符号相同，(4-7)式可改写成如下形式:(4-8)式中卫一二阶系统的无阻尼自然振荡频率

2、一二阶系统的阻尼比G.打=期一放大系数式（4-8）称为二阶系统传递函数的通用形式式（4-8）的特征方程式为S】+=0（4-9）方程的特征根为：工后二1（4-10）由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比；的变化可分成五种情况（即:<0;二=0;0<,<1;=1;二>1）。当二<0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不作讨论。下面就其它四种二的取值情况进行讨论。二阶系统的单位阶跃响应1、无阻尼情况(:)二=0时，式(4-10)为:即

3、特征方程的两个根位于虚轴上，见表4-1其传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时:刀①___1=K(-8J取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:或。=rl[C(r)]=^(1-CCS心/}(4-11)这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图4-1中曲线①所示。图中横坐标用❾/刻度,纵坐标用c(t)/c()刻度，曲线只是匚的函数。等幅振荡(阻尼比K=0)的振荡频率为◎圮,因而由三被称为无阻尼自然振荡频率1、欠阻尼情况（0V-i<1）0V4<1时，二阶系统特征方程式的两个根为共羯复根，即二一二卬堆土J%jl一二上二R十j❾」式中

4、一特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，仃―阻尼振荡频率,见表4-1所示。系统的传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时,__二T->S'+2：«wS+«/S一鼠JI1初ffbI■——■■,—l「“-一-・I—―-§(S十二Gj+◎一(S++瓯取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:c(t)=Z-1[C(5>]=KU-9*(exy+™=sin/匍式中(4-13)(4-13)(4-12)由式(4-12)可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响应值(即c())等于K,也就是说，稳态(即)时

5、，输入信号与输出信号c()之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间增长而衰减的振荡过程，振荡频率为田壮，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为(4-13)留力2欠医居二阶嶷第的单位的眠响应曲展(4-13)白金（即特征根的虚部），<1),因而振荡周期:。当刃月一定时，阻尼它是时间常数为五;（即:）的指数曲线。瞬态响应的幅值是按这条指数曲线的时间常数进行衰减的。根的负实部疗数值越大，瞬态响应衰减得就越快，因此，称为衰减系数。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应

6、曲线的振荡频率为阻尼振荡频率系数.二越大，振荡周期就越长如果响应过程成为非周期，0d将不复存在，系统的响应不再振荡。但为了便于分析和叙述，明和⑵廿的符号和名称在:之1时，仍将沿用下去。3、临界阻尼情况（匕=1）时，二阶系统特征方程有两个相等的负实根:见表4-1所示。系统的传递函数为GO)=(S+Q.当输入为单位阶跃信号时:佻）==KT-—S($十缶J-取的拉普拉斯反变换，得.3亡“）=卬-屋-（1f%切(4-14)其响应曲线如图4-1上曲线⑥所示，响应是稳态值为K的非周期过程。3、过阻尼情况（卜,>1）:时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：九

7、二-血土％乒i见表4-1所示。系统的传递函数为当输入为单位阶跃信号时取C0）的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应:。⑴、犬［1+j玷TC+依-1)(4-15)单位阶跃响应曲线如图4-3所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应(4-16)和两条衰减的指数曲线组成。由式（4-15）知，、的方程分别为:"8二户：n/'G"(4-17)K图4Y过鼠尼二阶系统的单位阶跃硝应由绒(4-18)在W，:一定的情况下，如果越大，两个负实根的数值就相差得越多。这时衰减得快的指数项c11(t)的衰减速度更加快，而衰减得慢的指数项的衰减

8、速度则更加慢。当远大于1时，c11(t)比c12(t)的衰减要快得多，这个快速衰减的指数项c11(t)对动态过程的影响可忽略不计。系统的