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1、§3．3任意项级数交错级数：1Lemma均存在且相等，Pf则令所以则若是数列.设存在，则且设2Thm8(Leibniz判敛法)满足条件：ii)则有如下结论:ii)则若交错级数i)i)满足和收敛,级数记3Pfi)(即单调增),所以也收敛,由Lemma知数列收敛,收敛.所以取极限得收敛.所以数列又即级数因为ii)且易知即4例10i)绝对收敛与条件收敛则称条件收敛.ii)时,级数收敛.收敛.级数时,Prop.绝对收敛.此时称条件收敛：收敛,若但发散，收敛，则收敛，若级数5例11i)当时绝对收敛，当时绝对收敛.时,不成立,发散.时发散.当ii)iii)当不成立,级
2、数时条件收敛,当级数级数6绝对收敛级数的性质且其和为S,也绝对收敛，记则故级数收敛,所以Thm9则任意交换此级数的各项的次序后所得的级数Pfi)的部分和分别为记而级数也可以看作交换次序所得,从而有若级数绝对收敛,且和不变.先设且其和7ii)所以都是收敛的正项级数,都收敛,而所以收敛，因为绝对收敛,由i)知,又且所以收敛,绝对收敛.且即记一般情况，8例12条件收敛,调序得级数的第n部分和记作则单调增，从而收敛.收敛.交错级数又故记其和且（与Leibniz准则的证明类似）9从而即调序所得的级数的和是原来级数的和的一半.10Thm10绝对收敛.都绝对收敛，若级数
3、和分别为U，V，则级数也绝对收敛,i)将级数Pf则去掉括号后所的级数记为且其和为UV.将级数＄)各项加“绝对值”号所得级数的部分和记作部分和记则从而有界,故＄)绝对收敛.11重新加括号得级数的第n部分和为故级数的和为UV，从而再将换序，级数绝对收敛，和为UV.12例13时，绝对收敛于令则由Thm10知级数绝对收敛于即（当时）时，13Dirichlet判敛法：若级数的部分和数列有界,数列从某个开始单调趋于0,则级数收敛.Pf记不妨设单调减少.因为级数的部分和数列有界,所以14对于任意的正数因为所以对于任意的有15级数收敛.由Cauchy收敛准则可知，16例讨
4、论级数的收敛性.解显然单调减少,且级数收敛.由Dirichlet判敛法,17且数列有界，Abel判敛法：若级数收敛，从某个开始单调，则级数收敛.Pf利用Dirichlet判敛法.因为数列从某个开始单调，有界，所以数列收敛.记则数列从开始单调，且由Dirichlet判敛法,收敛.根据线性,收敛,即收敛.18例讨论级数的收敛性.解即由Abel判敛法知，数列单调有界,级数收敛，级数收敛.19例级数与级数均条件收敛.1)级数收敛.因为有界,而数列单调减，趋向0.由Dirichlet判敛法知,级数收敛.20级数非绝对收敛.2)因为与1）类似讨论知,级数收敛,而级数发
5、散,从而级数发散.所以级数发散.所以级数条件收敛.213)级数也是条件收敛的.记此级数的部分和为的部分和为的部分和为则有因为级数都收敛,所以都有极限,从而有极限,即级数收敛.但由2)知,此级数非绝对收敛,所以也是条件收敛的.22作业pp149-150345(3)—(8)678送你一只猫2324
