书上的初等模型2

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1、2.3函数模型例1.某工厂生产A，B两种产品，分别需要原材料每件2千克，3千克。消耗能源每件1百元，6百元。劳动力每件需要4个人工，2个人工，获利每件5千元，6千元。库存原材料有1750千克，能源消耗总额不超过2405百元，全厂工人2500人。试问怎样安排生产任务，可获得最大利润？并求出最大利润？分析：这是一道线性规划的建模题，可用图象解法或几何解法。解：设安排生产A种产品件，B种产品件，获利为S千克，根据题意得显然满足以上条件的点在,,,这五条直线组成的凸五边形内,化为，见图2-1阴影部分，而其几何意义是一族斜率为

2、-5/6的平行直线。过阴影区域的直线轴上有最大的截距。与的交点时S取得最大值。何时在显然过直线由解得此时，即当生产种产品500件，种产品250件时，可获得最大利润，回顾：几何法求最值问题就是将约束条件转化为约束闭区域，再认清目标函数的几何意义，根据实际情况求其最值。最大利润为4000千元。例2、两地分别生产同一规格产品12千吨，8千吨，而、、三地分别需要8千吨，6千吨，6千吨，每千吨运费如下表。怎样确定调运方案，可使运费最少？表2-1单位产品运费表DEFAxy12-x-y12B8-x6-yx+y-6886620分析：

3、这是一道求运费最小值的优化问题，仍是线性规划问题，用几何法解之。设从运到为千吨，从A运到D为千吨，根据题意如下表：表2-2单位产品运费函数表万元到D到E到F从A456从B524约束条件为：图2-2线性示意图目标函数整理得作出,,,四条直线围成凸五边形，见图2-2阴影部分，目标函数化为其几何解释为与约束闭区域相交的斜率为3的一族平行线中，取在y轴有最小截距者，另外由常识知，一定在凸五边形的顶点处取得最值，由此列出表2-3。显然在（8，0）点取得最小值f为76.其实际意义是从A运到F4千吨，从B运到E6千吨，从B运到F2

4、千吨，总运费最省，运费为76万元。表2-3运费示意图xyf068686640010688808276例3某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后获得相应的金额奖券。表2-4促销方法消费金额范围（元）[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在商场购物可获得双重优惠。例如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为购买商品的优惠率为优惠率=购买商品获得的优惠额

5、/商品标价试求：⑴购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠率是多少？⑵对标价在[500，800]之内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于1/3的优惠率？分析：这是商品的打折销售问题，为了准确计算必须对优惠率有清楚的了解。解：⑴根据题意得消费金额为的奖券为130元，因此，得优惠率为元，这时获得⑵设商品标价为元，则.消费金额为，即由已知得：当时,此时无解；当时，得，因此当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时可得到不小于1/3的优惠率。回顾：实际上本题中的优惠率为分段函数，即优惠率y与标价x的函数

6、关系式为因此要分段进行计算，同时对打折销售的商品要保持数学的头脑，防止上当受骗。例5某新建商场设有百货部，服装部和家电部三个营销部，共有190名售货员，计划全商场日营业额为60万元。根据调查各部商品每一万元营业额所需售货员人数如表2-5，每一万元营业额获得利润如表2-6，商场计划将日营业额分配给三个营业部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为S(万元)，且满足19≤S≤20,又已知商场分配给经营部的日营业额为正整数万元。问这个商场怎样分配日营业额给三个营业部？各部分别安排多少名售货员？表2-5各部每

7、万元营业额所需人数部门百货部服装部家电部人数542表2-6各部每万元营业额所得利润部门百货部服装部家电部利润0.30.50.2解：设商场分配给百货，服装，家电部营业额分别正整数）则，解得∴又即解得即或例10旅客在候车室等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加，设检票的速度一定，若车站开放一个检票口，需要半小时方可将旅客全部检票进站，若同时开两个检票口，只需10分钟便可将旅客全部检票进站，现在有一辆增开列车，到站必须5分钟内将旅客全部检票进站，问此时车站至少应同时开几个检票口？解：设开始检票时，等候检票为人，排队每分

8、钟增加人，每个检票口每分钟检票人，又设5分钟内检完票，个检票口,则有至少需要开设由（1），（2）可得,代入（3）,得，且∴即要使5分钟内检完票使旅客全部上车，至少需同时开放4个检票口。例20一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距（千米）,（千米/时），船在静水中的最大速度为(千米/时),已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在水中（千米/