波函数、薛定谔方程

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1、量子力学建立于1923~1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学.相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程.薛定谔（ErwinSchrodinger，887~1961）奥地利物理学家.1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并建立了量子力学的近似方法.19-3波函数薛定谔方程1、自由粒子的波函数设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。恒定！恒定！从波动观点看来：这种波只能是单色平面波X一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。其波函数为：依德布罗意关系

2、式用指数形式表示：单色平面简谐波波动方程为：波函数：注意：波函数一般要用复数表示！其中波函数模的平方为：波函数可写为：考虑到自由粒子沿方向传播的三维情况，二、波函数的统计铨释（波恩Born）代表什么？只有实践才是检验真理的标准，看电子的单缝衍射：1、大量电子的一次性行为：极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，大小波强度小，波强介于二者之间粒子的观点波动的观点统一地看：粒子出现的概率正比于2、一个粒子多次重复性行为较长时间以后极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大，大小波强度小，波强介于二者

3、之间粒子的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的概率正比于结论：1）某t时刻在空间某点r处粒子出现的概率与该时刻、该地点波函数模的平方成正比。（1）概率密度－在t时刻粒子在某r处单位体积内出现的概率。波函数是描述粒子在空间某处概率分布的“概率振幅”简称概率幅。概率幅模的平方（2）概率：代表t时刻在处单位体积中发现一个粒子的概率t时刻在附近dV内发现粒子的概率为：结论：2）波函数所描述的是处于相同条件下，大量粒子的一次性行为和一个粒子多次性重复性行为。结论：3）波函数所代表的波是概率波。在

4、

5、2大的地方微观粒子出现多，

6、

7、2小的地方粒子出

8、现少；粒子按波的形式去分配粒子出现的概率。例）求一个能量为E、动量为P的自由粒子的概率密度。解：波函数且与位置无关。在全空间粒子出现的概率一样3、波函数的性质：4)满足归一化条件（Narmulisation）（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件1)单值2)有限3)连续三、薛定谔方程：薛定谔:波函数，能解很多好东西。若问这是为什么？谁也不知道！1、自由粒子的Schröding方程（非相对论条件下讨论，低速微粒）适用条件υ<

9、由粒子的schröding方程其波函数为：自由粒子非相对论条件下总能量：（4）、（5）式比较：自由粒子一维含时薛定谔方程2）势场中的薛定谔方程若粒子处在势场中，势能为U（x，t），总能量：——势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：引入拉普拉斯算符三维含时薛定谔方程：3）定态薛定谔方程（重点）定态，势函数不显含时间，其概率分布也不随时间变化.（12）式代入方程其解：指数应是无量纲的数，的单位是“焦尔秒”，故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。用分离变量法将波函数写为：整理——定态薛定谔方程若定态薛定谔方程已解出为：则粒子

10、的波函数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数与一时间函数的乘积。2）对于定态，除能量E有确定值外，其几率分布也不随时间变化。2、薛定谔方程应用举例1）一维势阱对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，跃出需无限大能量许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。+++0aU—此称无限深势阱若是经典粒子，粒子如何运动？mEE可取任意值，且各处出现的概率一样mE量子力学对粒子的分析：粒子无法越过势阱故只须考虑0

11、aUmE由边界条件：代入式（5）由（7）式:B=00aUmE由（8）式:代入式（5）(a)波函数:由归一化条件:代入（10）、（11）式:——（定态波函数）粒子出现的概率：（b）能量公式：由式（3）、式（9）结论：1）能量是量子化的，且无0值。能量最小值：波粒二象性的必然结果！2）粒子在空间不同的地方出现的概率是不同的。E1E2E3E4a0Xa0X注意：粒子在势阱中不同地点出现的概率不一样，不同于经典物理学中的等概率分布。E1E2E3E4a0Xa0X0aUmE以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波E1E2E3E4a0Xa0XmE0aUXm

12、E0aXn2当a时回到了经典情况。E1E2E3E4a0Xa0XmE0aXn2a能量可看成连续的