球面几何介绍及简单证明问题

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1、球面几何介绍及简单证明问题在现行的数学课标中，选修内容出现了一些关于球面几何的知识，中学作为初等几何的学习阶段，对高等几何的研究也很有必要，拓宽了视野，才能对问题有新的看法。下面介绍一下球面几何涉及到的一些知识。1球面几何的概念空间中和定点的距离等于定值的所有点构成的曲面，叫做以为球心，为半径的球面，我们用符号表示，用集合的语言叙述就是：，我们把以为球心，小于等于球半径的所有点构成的立体叫做球体，记作：对于球面，我们还有如下结论：（1）空间中不共面的四点确定一球面；（2）半径为的球面面积为，球体体积为；（3）球心和球的截面圆

2、心的连线垂直于截面。2球面几何的基本性质2.1球面三角形与球极三角形的关系球面三角形与它的球极三角形是球面几何研究中两个十分重要的图形，它们之间有十分重要的关系。性质1球面三角形与球极三角形互为极对偶。性质2设以和分别表示球面的三个角度和边长；和分别表示球极三角形的三个角度和边长，则有：（4.2.1.1）（4.2.1.2）2.2球面三角形的性质性质3在单位球面上的任意球面，其内角和减去后的盈余恰好等于它的面积，即。推论1(4.2.2.1)推论2对半径为的球面三角形而言，有(4.2.2.2)推论3（4.2.2.3）性质4在球面

3、三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。性质5球面三角形的任意两个内角和与另一个内角差小于。性质6球面三角形的任意一个外角小于不相邻的两个内角之和而大于它们的差。性质7球面三角形的角平分线交于该三角形的内切圆的圆心。性质8球面三角形三边的垂直平分线，交于球面三角形的外接圆圆心。性质9在同一个球面三角形中对等边的角相等，反之，对等角的边也相等。性质10在任意球面三角形中，对大角的边较大，反之，对大边的角也较大。3球面多边形的内角和球面多边形的内角和是球面几何中的一个定理公式，中学生对球面几何知识的要求并不算高

4、，在此由于篇幅有限，只作此大略介绍。在单位球面上任给球面三角形，其面积为，则三角形的三内角和为，即。（4.1.1）球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。[4]推论　在单位球面上任给球面凸边形，其面积为，则该边形的个内角和为，即。(4.1.2)证明(用归纳法)　当时，它就是4.1.1，球面三角形的内角和定理。假设推论对于单位球面上的球面凸边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸边形，设之为，其面积为。用大圆弧把、连接起来，并使得的弧长不超过。由于多边形是凸的，这时大圆弧一定位于凸多边形的内部。于是原来的球面凸边形被分成

5、球面三角形和球面凸边形。设球面三角形的顶点所对应的三角形内角记为，顶点所对应的内角记为，而球面凸边形的顶点所对应的球面多边形的内角记为，顶点所对应的球面多边形的内角记为。由前面的做法显然有，，其面积有下列关系。故由归纳假设知此即我们证明了结论成立。