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1、立体几何（向量法）—建系难例1（2021年一般高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD,F为PC的中3点,AFPB.〔1〕求PA的长;〔2〕求二面角BAFD的正弦值.【答案】解：〔1〕如图，联结BD交AC于O，由于BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，→→→故AC⊥BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立OBOCAPππ空间直角坐标系O－xyz，就OC＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDcos＝CDsin33＝3，故A〔0，－3，0〕，B〔3
2、，0，0〕，C〔0，1，0〕，D〔－3，0，0〕．z→因PA⊥底面ABCD，可设P〔0，－3，z〕，由F为PC边中点，得F0，－1，，又AF2＝2z→→→0，2，，PB＝〔3，3，－z〕，因AF⊥PB，故AF·PB＝0，即6－＝0，z＝23〔舍去－22z2→3〕，所以
3、PA
4、＝23.→→→〔〔21〕〕由知＝〔－3，3，0〕，＝〔3，3，0〕，＝〔0，2，3〕．设平面FAD的法ADABAF向量为1＝〔x1，y1，z1〕，平面FAB的法向量为2＝〔x2，y2，z2〕．→→由1·AD＝0，1·AF＝0，得－3x1＋3y1＝0，因此可取1＝〔3，3，－2〕．2y1＋3z1＝0，→→由2·AB＝0，
5、2·AF＝0，得3x2＋3y2＝0，故可取2＝〔3，－3，2〕．2y2＋3z2＝0，从而向量1，2的夹角的余弦值为cos〈n1·n211，2〉＝＝.
6、n1
7、·
8、n2
9、837故二面角B－AF－D的正弦值为.8例2（2021年一般高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥PABCD中,ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD都是等边三角形.(I)证明:PBCD;(I)求二面角APDC的大小.【答案】解：〔1〕取BC的中点E，联结DE，就四边形ABED为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形
10、知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，从而PB⊥OE.由于O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.〔2〕解法一：由〔1〕知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，故CD⊥平面PBD.又PD.平面PBD，所以CD⊥PD.取PD的中点F，PC的中点G，连FG.就FG∥CD，FG⊥PD.联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．联结AG，EG，就EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.1设AB＝2，就AE＝22，EG＝PB＝1，222故AG＝AE＋EG＝3，1在△AFG
11、中，FG＝CD＝2，AF＝3，AG＝3.2222FG＋AF－AG6所以cos∠AFG＝＝－.2·FG·AF36因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos.3解法二：由〔1〕知，OE，OB，OP两两垂直．→以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如以下图的空间直角坐标系O－xyz.→设
12、AB
13、＝2，就A〔－2，0，0〕，D〔0，－2，0〕，C〔22，－2，0〕，P〔0，0，2〕，→→＝〔22，－2，－2〕，＝〔0，－2，－2〕，PCPD→→＝〔2，0，2〕，＝〔2，－2，0〕．APAD设平面PCD的法向量为1＝〔x，y，z〕，就→＝〔x，y，z〕·〔22，－2，－2〕＝0，1·PC→
14、＝〔x，y，z〕·〔0，－2，－1·PD2〕＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝〔0，－1，1〕．设平面PAD的法向量为2＝〔m，p，q〕，就→＝〔m，p，q〕·〔2，0，2〕＝0，2·AP→＝〔m，p，q〕·〔2，－2，2·AD0〕＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝〔1，1，－1〕．6于是cos〈，n1·n2＝－〉＝2.
15、n1
16、
17、n2
18、36由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π－arccos.3例3（2021高考真题重庆理19）（本小题满分12分如图，在直三棱柱ABCA1B1
19、C1中，AB=4，AC=BC=，3D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离;（Ⅱ）如AB1A1C求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：〔1〕由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为22CD＝BC－BD＝5.〔2〕解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，就DD1∥AA1∥CC1.又由〔1〕知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D
