高考数学分类专题复习之06 求通项公式

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时间:2018-01-29

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1、第六讲求通项公式★★★高考在考什么【考题回放】1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22.在数列中,,且,则35.3.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是  2n+1-2.5.已知数列{}的前项和,则其通项;若它的第项满足,则.2n-10;86.已知数列对于任意,有,若,则.47.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且

2、a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an.解析∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2).当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3.★★★高考要考什么一、

3、根据数列{an}的前n项和求通项Sn=a1+a2+a3+……+an已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列。3.利用换元思想(变形为前一项与后一项成等差等比关系,直接写出新数列通项化简得an)。4.对含an与Sn的题,进行熟练转化为同一种解题,注意化简时n的范围。★★★突破重难点【范例1】记(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;(Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和解析(I)整理得(Ⅱ)由

4、所以.【变式】数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.(I)求的值;(II)求的通项公式.解:(I),,,因为,,成等比数列,所以,解得或.当时,,不符合题意舍去,故.(II)当时,由于,,…………,所以.又,,故.当时,上式也成立,所以【范例2】设数列的首项.(1)求的通项公式;(2)设,证明,其中为正整数.解:(1)由整理得.又,所以是首项为,公比为的等比数列,得(2)方法一:由(1)可知,故.则又由(1)知且,故,因此为正整数.方法二:由(1)可知,因为,所以.由可得,即两边开平方得.即为正整数【变式】已知数列中,对一切自然数,都有且.求证:(1);

5、(2)若表示数列的前项之和,则.解析:(1)由已知得,又因为,所以,因此,即.(2)由结论(1)可知,即,于是,即.【范例3】由坐标原点O向曲线引切线,切于O以外的点P1,再由P1引此曲线的切线,切于P1以外的点P2),如此进行下去,得到点列{Pn}}.求:(Ⅰ)的关系式;(Ⅱ)数列的通项公式;(Ⅲ)(理)当时,的极限位置的坐解析(Ⅰ)由题得过点P1(的切线为过原点又过点Pn(的因为过点Pn-1(整理得(Ⅱ)由(I)得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列(Ⅲ)的极限位置为(【点睛】注意曲线的切线方程的应用,从而得出递推式.求数列的通项公式是数列的基本问题,一般

6、有三种类型:(1)已知数列是等差或等比数列,求通项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知Sn,求通项,破解方法:利用Sn-Sn-1=an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f(x)=,数列|x|(x>0)的第一项x=1,以后各项按如下方式取定:曲线x=f(x)在处的切线与经过(0,0)和(x,f(x))两点的直线平行(如图).求证:当n时,(Ⅰ)x(Ⅱ).解、(I)证明:因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.(II)因为函数,当时单调递增,而,所以,

7、即因此又因为令则因为所以因此故

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