韦达定理的应用

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1、--韦达定理x型韦达定理24．【2018XXXX八中高三模拟】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.〔1〕证明为定值，并写出点的轨迹方程；〔2〕设，过点作直线，交点的轨迹于两点(异于),直线的斜率分别为，证明为定值.【答案】(1)(2)见解析.解析〔1〕如图，因为，，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以,有题设可知-.word.zl---，由椭圆的定义可得点的轨迹方程为.〔2〕设，当的斜率不存在时，此时此时容易解出的坐标，此时.综上可知.点睛〔1〕动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几

2、何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.〔2〕解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为〔或〕的整体，再用韦达定理转化即可.-.word.zl---25．【2018XX株洲高三质检一】椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕证明为等腰三角形.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析〔1〕将点M分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；〔2〕设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得MA+MB=0，即可求得△ME

3、F为等腰三角形．试题解析〔1〕由直线都经过点，那么a=2b，将代入椭圆方程，，-.word.zl---，，，所以为等腰三角形.点睛此题考察椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考察韦达定理，直线的斜率公式，考察计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.30．【2018XXXX高三质监三】定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.学〔〕〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕椭圆的弦的中点分别为，假设平行于，那么斜率之和是否为定值？假设是定值，请求出该定值；假设不是定值请说明理由.【答案】〔1〕〔2〕

4、斜率之和为定值【解析】试题分析〔Ⅰ〕设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．〔Ⅱ〕设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，可知PQ∥MN，所以PQ=MN=1，设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2﹣6=0-.word.zl---，利用韦达定理可计算试题解析〔Ⅰ〕设椭圆的标准方程为椭圆过点，所以①，将代入椭圆方程化简得，因为直线与椭圆相切，所以②，解①②可得，，所以椭圆方程为；〔Ⅱ〕设点，那么有，由题意可知，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得由题意可知③点睛

5、定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值确定“定点〞是什么、“定值〞是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.-.word.zl---定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.含点代入椭圆的应用32．【2018XXXX高三第一次统考】短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，假设椭圆上存在一点满足，求直线的方程．【答案

6、】〔1〕.〔2〕或.解析〔1〕因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为，由.解得，故椭圆的方程为.〔2〕设当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.-.word.zl---点睛一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有〔或〕的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.韦达定理求最值28．【2018XXXX高三质检一】椭圆的左、右焦点分别

7、为，以为直径的圆与直线相切.〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕如图，过作直线与椭圆分别交于两点，假设的周长为，求的最大值.-.word.zl---【答案】(1)；(2).【解析】试题分析〔1〕有直线和圆相切得到关于的关系式，整理可得，从而可得．〔2〕根据三角形的周长可得，故，可得椭圆的方程．分直线斜率存在和不存在两种情况分别求得的值，可得最大值是．试题解析〔1〕由题意，即∴，．〔2〕因为三角形的周长为，所以∴，-.word.zl---故.②假设直线斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设，那么∴-.word.zl---点

8、睛圆锥曲线中求最值或X围问题的方法假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值X围；②利用参数的X围，求新参数的X围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值X围；④利用根本不等式