统计与概率难点分析及教学建议

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1、概率难点分析及教学建议河北师范大学数学与信息科学学院程海奎统计与概率研究随机现象的规律性。对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法看，似乎不难。但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解。那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析。一、概率的难点分析1．概率的抽象性。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了。2.

2、统计规律的隐含性。随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验时，事件频率的稳定性。这种规律称之为统计规律性。频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的。同时它也给出了度量的一种方法。现实中，只有个别特殊情形，在合理的假设下不需通过重复实验而直接计算概率，而大量事件的概率需要用频率去估计。由于统计规律是通过大量重复实验揭示的，因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义，利用概率思想进行

3、风险决策。对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。直观认识。概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在n次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。具体实验。通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。精确刻画。有些资料这样叙述：“实验次数越多，用频率估计概率越准确”，这样的叙述严密吗？以掷硬币

4、为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3。显然上面的叙述不严密，太绝对了。究竟如何精确地刻画频率的稳定性呢？提供如下案例供参考（不需要学生了解计算方法）。案例1分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性。用fn表示掷n次硬币“正面向上”的频率，fn的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：比较严格的叙述为：“当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较

5、小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”。3.概率定义的复杂性。概率事件发生的可能性大小的度量。这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有那些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助。概率是频率的稳定值。这是概率的统计定义。它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。但频率还有随机性的特征，特别当实验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么。为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。先认识频率及其性质，频率和概率

6、的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）。案例2美国的一个电视游戏节目有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。给你一次猜的机会。猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开。现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。足以看出概率问题是有一定难度

7、的。观点一一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换。观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换。观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换。哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示

8、应当换。Diaconis教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的。如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好。如果只给你一次机会，那是很难说的。分析由于随机性，如果1号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车。如果1号门后面没有车，此时换就