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时间:2022-02-04
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1、一、二次曲面二、小结思考题第四节二次曲面二次曲面:三元二次方程所表示的曲面。讨论二次曲面性状的方法:用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.截痕法(methodofsections)一、二次曲面1.椭圆锥面(1)在平面x=0或y=0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆(1)上任一点与原点的连线均在曲面上.(a,b为正数)在平面上的截痕椭圆伸缩变换例如2.椭球面(Ellipsoid)椭球面与三个坐标面的交线:椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面
2、和的交线也是椭圆.椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成.旋转椭球面与椭球面的区别:方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为3.单叶双曲面(1)用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.(Hyperboloidofonesheet)与平面的交线为椭圆.当变动时,这种椭圆的中心都在轴上.(2)用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合,虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.(3)用
3、坐标面,与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.4.双叶双曲面xyo(Hyperboloidoftwosheets)对于抛物面(与同号)5.椭圆抛物面用截痕法讨论:(1)用坐标面与曲面相截截得一点,即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时,这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.(2)用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点(3)用坐标面,与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下:特殊地:当时,方程变为旋转抛物面与平面的
4、交线为圆.当变动时,这种圆的中心都在轴上.(由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的)(与同号)6.双曲抛物面(马鞍面)用截痕法讨论:设图形如右示:xyzo(hyperbolicparaboloid)曲面方程的概念二、小结椭圆锥面、椭球面、双曲面、抛物面、截痕法.(熟知常见曲面的特性)1.方程表示怎样的曲线?思考题思考题1解答表示双曲线.练习题练习题答案二、
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