2021-2022学年吉林省长春市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷

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2021-2022学年吉林省长春市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷9直线x=a.(a>0)分别与曲线y=2x+l,y=x+lnx相交于A,B两点，贝IJIABI的录小值为（一，选择题A.18.2C.迈D，范10在1;ABC中，内角A,B.C的对边分别为a.b,c,已知(sinB-sinC)2=sin勺－sinBsinC.a=I.aABC是边长为2的等边三角形，已知向呈a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是()2..f3.b=2，则t.ABC的面积为（)r-rbACb=1Ba上A.2B.2,./3C.4D.4../31rba__1D.(4a-呻+-b).1BC-11关于函数f(x)=coslxl+JcosxJ有下述四个结论·CDf(x)是偶函数，＠f(x)在区间（0,1)单调递减，@f(x)在［一兀兀］有2个零点，＠f(x)的录大值为2.其中所有正确结论的编号是()2.已知aE(~,rr]且sin(a气）=-i则tan(a+re)=(A＠吵B.@©C卿D.(j)@c扛一迈A.-2寸2B.2迈4D一12若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点，则（)4A.f(x)有极大值－1B.f(x)有极小值－1_C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0➔3巴知向呈-a=（打，0),-b=(0,-1),三;;畸=(k，范）若(;i-2b).Le，则k=()二、填空题c33A.2B.-2-2D.--2函数y=ln(4-x2)的定义域为4已知等比数列｛吐｝满足a1+a2=6,a4+a5=48,则数列｛吐｝前10项的和为s,o=(),fi,.M2,/sA.1022B.1023C.2046D.2047巴知a,p均为锐角，且sina=:;:,cos(a+{J)＝一，则cos2(J=10'55已知一元二次不等式f(x)<0的解栠为{xix<-1或x>；}，则f(ex)>0的解集为（设奇函数f(x)在（0，十oo)上为单调递增函数，且f(2)=0则不等式八－X:x寸(x)＜0的解栠为A.(xlx<-ln3或x>一1}B.(xl-ln3一ln3)D.(xlx<一ln3}设函数f(x)=2sin(wx+：)如＞0),若f(x)可(;)对任意的实数都成立，贝加的范小值为三、解答题6已知等比数列(an}的前5项积为32,1

1(2)若c=2-/3,t,ABC的面积为2污求r,ABC的周长33已知数列{an}和｛加｝满足a1=2,b,=-l,an+1=!~-¾bn+l,bn+1=;加－扣－1(I)证明｛吐＋加｝是等比数列(an-bn}是等差数列，(2)若Cn=a~-b~.求数列{cn}的前n项和SnaABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c已知asin(A+8)=csin竺f(I)求A,(II)已知b=1,c=3,且边BC上有—点D满足S凸ABO=3SMVC,求AD.已知函数f(x)=aex-xlnx+x2(aER)(1)当a2!0时，证明函数f(x)单调递增，(2)当a>O时，令g(x)＝生｝，若g(x)之2，求实数a的取值范固Xx=cosa+,/3sina,在宜角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{(a为参数），坐标原点0为极点，x轴的y=sina－戎cosa芷半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(0+~)=2(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程，(2)直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交干A,B两点，证明IPAI·IPBI为定值第3页共20页0第4页共20页

2【答案】参考答案与试题解析B2021-2022学年吉林省长春市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷【考点】数虽积判断两个平面向屋的垂直关系一、选择题【解析】I.由巳知向呈的坐标求得a-2b的坐标，再由向呈垂直与数呈积的关系列式求得k值【答案】D【解答】【考点】a=（我0),b=(0.一1),平而向蛮数总积【解析】a-2b=(,J3,2)又c=（k八甩），且(a-2b).lc,-I---由题意，知道a=::AB,b=BC,根据已知三角形为等边三角形解之2范K+2西＝0,即k=－2【解答】4.解因为已知三角形ABC的等边三角形，【答案】＿．一---Ca,b满足AB=2a,AC=2a+b,【考点】-----等比数列的前n项和又AC"'AB+BC,.'.b的方向应该为BC的方向【解析】所以--.a=::IAB,b--=BC,-利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．2【解答】➔--所以[bl=2,a·b=1x2xcos120°=-1,设等比数列{a,1}的公比为q,·:a.,+a2=6,a4+a5=48,:.a1(1+q)=6,a1叶(1+q)=48,联立解得a1=q=2故A,B,C错误，2(2'0-1)＿、一一则数列(%}前10项的和为S10=~2-1=20464a·b=4x1x2xcos120·=-4,胪＝4,----5.所以4ab＋护＝0,即(4a+b)·b=0,--【答案】_D．噜----即(4a+b)·BC=0,所以(4a+b)l.BC.【考点】故选D.元..::.次不等式的解法2.【解析】【答案】此题磕无解析A【解答］【考点】了一元二次不等式f(x)<0的解集为{xix<-l或X>¼},•,.设一1和甘皂方程x2+ax+b=0的两个实数根运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用则a=-(-1计）＝阜b=-lx¾=-f,:.f(x)=-(x2＋扣叶）=－x2＿扣＋i．．不等式f化）>【解析】此题暂无解析0即产＋扣－i0,:.0<矿＜i解得x0的解集为(xix<-ln3}故选D因为Si中叶）＝cosa＝叶aE（扣）所以sina＝孚所以tan(a＋冗）＝tana＝岊＝－2控故选A6【答案】3.C

3【考点）【答案】等比数列的性质B函数单调性的性质【考点】［解析】利用导数研究函数的鼓值两点间的距离公式此题暂无解析【解答】【解析】24-,a,生；1此题暂无解析因为等比数列(a,,}的前5项积为32所以叶＝32,解得a3=2,则as=一"飞＝一，a1+-+-=a1+1+-a1a124a1【解答】设A(a,2a+1),B(a,a+Ina),:.IABI=12a+1-(a+lna)I=la+1-Ina|，令y=x+1-lnx,则y'=易知函数f(x)=X+；在(1,2)上单调递增，所以凸＋孚＋乎e（马），故选C1-;,占函数在(0,1)上单调递减，在（l,十oo)上单调递增···x=1时函数y的酘小值为2>0,7.IABI=12a+1-(a+lna)I=la+1-lnal=a+1-Ina.其最小值为2故选8【答案】JO.A【答案】［考点JB利用导数研究曲线上某点切线方程【考点】【解析】余弦定理求出原函数的导函数，得到f'(O)，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解正弦定理［解答】【解析】·:f(x)=excosx,:.f'(x)=excosx-exsinx,:.f'(O)=e0cos0-e0sin0=1,f又函数f(x)=excosx在点(0.f(O)）处的切线与直线2x-ay+1=O互相垂直，由正弦定理化简得b2+,2-a2=be,再由余弦定理得cosA=-，进而得到sinA＝一，利用余弦定理，列出22.'.1X~=-1，即a=-2方程求得c=4，录后结合三角形的面积公式即可求解【解答】8.解在t.ABC中，由正弦定理，【答案】可得(b-c)2=a2-be,即b2+,2＿吐＝beA沪＋C互吐1又由余弦定理可得cosA==-,【考点】2bc2数匿积表示两个向鱼的夹角,/'.j可得sinA=~=—【解析】2通过向呈的坐标运算，转化求解向呈的夹角即可因为a=2范，b=2,【解答】由余弦定理，可得吐＝b2+c2-2bccosA,-即(2,/3)2=22+c2-2c,解平面向虽a.b满足l;I=2,lbl=1,且伍－句(~+3b)=2.即c2-2c-8=0,解得C=4,三畸皿呤迈所以三角形的面积为S=-bcsinA=-x2x4x-=2迈．可得4祒＋11a·b-3b2=2,222故选B即11a·b=-11.-II.所以a·b=l-,-allblcos0=2cos0=-1,【答案】2斤A解得0=-.3【考点】故选A.命题的贞假判断与应用9【觥析】第7页共20页0第8页共20页

44由O可得:f(x)是偶函数，且周期T＝亢只要考察在XE(0，亢］上，当XE(0,：)上时，f(x)=2cosx;当XE5（和，叶上时f(x)=O.即可得出结论【考点】两角和与差的余弦公式【解答】两角和与差的正弦公式关千函数f(x)=coslxl+lcosxl有下述匹个结论f(x＋兀）＝f(x)，可得T=rr.二倍角的余弦公式CD·:f(-x)=f(x),:.f(x)是偶函数，芷确，®f(x)在区间(0,1)上，f(x)=2cosx,:.f(x)在区间(0,1)上单调递减，正确，【紨析】此题暂无解析＠考察在xE[0,兀］上当xE[0卒］上时，f(x)=2cosx有一个零点~;当XE(：卫］上时，l(x)=cosx-cosx【解答】=0,有无数个零点因此f(x)在［一兀，兀）有无数个零点，因此＠不正确因为a,/3均为锐角，所以aE(O,~i)”“五,/3E(O,i),a+/3E(0，斤），又sina=1!,10'cos(a(++/3)/3)=兰s，所＠由＠可得f(x)的俀大值为2,正确7,/2乔，其中所有正确结论的编号是＠＠戏）以cosa=~.10'sin(a+B)=-5.12.3项94月fb又cosp=cos(a+p-a)=cos(a+p)cosa+sin(a+p)sina=－一一，贝IJcos2P=2cos2p-1=;-1=~10''..''55［答案】A【答案】【考点】(-oo,-2)U[2,+oo)利用导数研究函数的极值【考点】【解析】奇偶性与单调性的综合先求出a的值，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极大值即可其他不等式的解法【解答】【解析】解·:f(x)""ax+lnx,x>0,根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可:.f'(x)""a+;,【解答】解了奇函数f(x)在(0.+oo）上力增函数，又/(2)=0,7x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点函数f(x)在(-oo,0)上为增函数，且f(-2)=-/(2)=0,:.f'(l)""a+1""0,函数f(x)的图象如图解得a=一1,`,,:.f'(x)""-1+上；；二，XX危）:.f(x)在(0,1)递增，在(1,+oo)递减，:.f(x)级大齿＝[(1)=-1,无极小值故选A`今0/2;二、填空题【答案】(-2,2)则不等式八二[生扫顶等价为刍俨扫1卢:::;0［考点】函数的定义域及其求法即罕:2:0,【解析】此题暂无解析由图象可知，符合的区间为(-oo,-2)U[2,+oo)故答案为(-oo,-2)U[2,+oo)［解答】由于对数的真数要大干零，故4-x2>0,解得XE(-2,2)，即函数的定义域为(-2,2)【答案】4【答案】3

5【考点）l则二－－－=2,正弦函数的定义域和值域“n令1”n［胖析】故数列｛土｝是等差数列，公差d=2.an此题暂无解析【解答】？数列｛上｝是等差数列公差d=2,首项为上＝1,.a九a,由f(x):5飞）可知x＝巴时函数取得最大值，故有巴w+巴＝巴+2虹(kEZ)，解得w=~+8k(k(EZ)，所446231n(n一1)则数列｛一）的前n项和s.=n+X2=n+n(n-(n-1)=n2.an24以录小值为－311则Sn—=?lZ,—..11111三、解答题·—=—>=--—s,.n2n(n+1),1,1+1'【答案】1111111111n．．．一s,十s,一十，··+s,,->-1--2+-2--+··+--—=1-—=—,证明•:all+l=~2“n+1.al=1,3nn+1n+1n+1:.两边同时取倒数得兰＿＝竺立~=2+上，故扣卢＋＋护士成立an+1“nan【答案】1则--－－a”“O,'=2,(I)c=2cosC(acosB+bcosA),sinC=2cosC(sinAcosB+sinBcosA)，即sinC=2cosCsin(A+B),cosC=1故数列｛一）是等差数列，公差d=2－2'又On(n+l)=-n--n+l'正弦定理:.l.l.l.l1.ll..ll_ln余弦定理-+-+···+->---+---+…+--—=1-—=—S1S2Snl223nn+ln+1,'+l【解析】故点咕＋＋妇亡；成立此题暂无解析【解答】【考点】(I)c=2cosC(acos8+bcosA),sinC=2cosC(sinAcos8+sinBcosA)，即sinC=2cosCsin(A+8),cosC=数列的求和1数列递推式－又O

631证明．由题惩可知aIl+1=-an--bn+1,·•.a,1+1+b,1+1＝江－沁＋1＋抄？1-沁－1=½(a,,+b,,)4"4bn+1＝扛－扣－1,a,+b1=1,a1-b1=3,即an+I+bn+I=½(a,.+b11),:.an+l+bn+l=江－沁＋1＋钰－ia,，一1=½也＋bn)...数列(an+bn}是首项力1、公比为神的等比数列即an+l+bn+l=i(an+加）．故an+b,,=,b....数列{a,,+bn}是首项为1、公比为佳的等比数列．...an+1-bn+1＝江－¾bn+1-(;bn-扫－1)=an-bn+2,．．．数列{an-bn}是首项3、公差为2的等差数列，故a,l+b尸击，故a,,,-bn=211+1·:a九十l-bn+1=:a九－沁＋1-（江－：。n一l)=an-b,.+2,由(I)可知a,1+b,l＝吉．an-bn=2n+1,．．．数列{an-bn}是首项3、公差为2的等差数列.·.cn=an2-bn2=(a,1-b,l)(ail+b,l)＝罢故知－bn=211+1由(I)可知an+bn＝吉．nn-b,.=2n+1.沪3x卢＋5x卢＋+(2n+1)X琴1,“-1111:.C九＝心－bn2=(an-bn)·(an+b,,)＝罢．CD式两边同乘－，1寸S11=3X了＋Sx歹＋＋（2n-1)X产＋（2n+1)X泸221llll沪3x卢＋sx卢＋+(Zn+1)X妇©-＠得2~Sn=3+(歹十歹＋＋产）－（2n+1)Xfr;111l咭I2n+S＠式两边同乘－，得－22'1S,,=3x-2'+5x歹十···+(Zn-1)灯忐＋(Zn+1)X授可得·托＝3＋一－(2n+1)X石＝5---乓2"'2n+5＠组）得杯＝3＋咭＋卢＋＋声）一(Zn+1)咭:.Sn=102n-l.乓诗]zn+s,【答案】可得林＝3＋——-（2n+1)Xf,;=5———弓汪＇B+C.n-AA(I)由A+B+C=Tr可得．sin(A+B)=sin（冗－C)=sinC.sin—-2=sin—-2=cos~2.2n+S:.Sn=102九一，8+CA又asin(A+B)=csin—-，得asinC=ccos~【考点】22'数列的求和A由正弦定理得sinAsinC=sinCcos~.数列递推式2【解析】因为sinC千0,所以sinA=cos=A2'(l)利用已知条件推出数列(an+b,,}是首项为1、公比力扭的等比数列故a.n+b,,＝,.6.推出数列(a,1-AAAA1rA所以2sin=cos=22=cos-2，因为0<-2<－所以2'2cos=*0,切是首项3、公差为2的等差数列，故a11-bn=211+1所以sin~=i畔吁所以A=宁(2)由(I)可知，a,,+b,,=,b.a,,-bn=Zn+1,化简Cn=an2-b112=(an-bn)·(an+bn)＝芸芬．(2)解法一设t:.ABD的AB边上的高为从，t:.ADC的AC边上的高为归利用错位相减法求解数列的和即可因为S凸ABo=3S凸ADC,c=3,b=1,【解答】所以－c·h,=3x~b·h2,322证明由题忠可知an+l:~an-~an-－加＋144所以h1=h2,AD是AABC角A的内角平分线，所以LBAD=30',bn+t=扛－扣－1,生＋b1=1,a1-b1=3,因为SMBD=3S凸ADC,可知S凸ABD叶SoABC,

7131(I)由已知结合三角形内角和定理，诱导公式，和差角公式进行化简可求，所以::ABxADxsin30"=':'x::ABxACxsin60",242(ll)法一由s.店0=3S1,ADC,c=3,b=1,结合三角形的面积公式可转化为离的关系，进而可求，3J兀所以AD==法二．设LBAD=a(O

83,fi1所以AD=有g(x)min=g(l)=ae+1;;:2,可得a;;:一，4eBl故所求实数a的取值范图为[:,+oo)e【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】A此题暂无解析解法三．设AD=x,LBDA=a,则LADC=1t一a,【解答】在L!.ABC中，由c=3,b=1及余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,(1)证明函数f(x)的定义域力(0,+oo),所以a=..fi,3-l'if'(x)=ae"一(lnx+1)+Zx=ae"+(Zx-lnx-1),因为s,.ABD=3S,.Aoc,可知BD=3DC=412X-1在L!.ABD中AB2=8D2+A沪－2BD·AD·cosa,令h(x)=Zx-lnx-1,则h＇（x)=2--＝一一，xx633<即9=~+AD2-7·AD·cosa162I令h'(x)>0可得x>-,21J7在1,ADC中，1=:°:+AD2-7·AD·cos(亢-a),16211可得函数h(x)的坪区间为(~2'',+oo)，减区间为···-...(0,''2－),=~+?AD2十五．AD·cosa,即1162可得h(x)e:h（旮＝1-lni-1=ln2>0,所以AD＝早．又由aex~0,得f'(x)>O,【答案】(1)证明函数f(x)的定义域为(0,+oo),故当a~O时函数f(x)单调递增f'(x)=a沪－(lnx+1)+2x=aex+(2x-lnx-1)aex(2)解由题意有g(x)=~-lnx+x,令h(x)=Zx-lnx-1,则h'(x)=2－扣气兰，X1令h'(x)>0可得X>:;,2则g'(x)＝立宁三甘＋111可得函数h(x)的增区间为(-，十oo),减区间为(O,~).2·.,.···-·.."·2a(x-l)ex,=x一I,.."{aex,'1xz+丁=（x-1)行＋；）令可得h(x)2:h(i)=1-lnf-1=ln2>0,令g'(x)>0可得x>1,又由aex2:0,得f'(x)>0,可得函数g(x)的增区间为（1，十oo)，减区间为(0,1),故当a2:0时函数f(x)单调递增．aex(2)解：由题急有g(x)=~-lnx+x,有g(x)m1n=g(l)=ae+l;?;2,可得a;?;;,X瓣（x)=立宁三＿户1故所求实数a的取值范围为[~，十oo)ea(x-l)e',x-1,.-(ae',1=x,＋了＝（x-1)（百片）．【答案】令g'(x)>0可得X>J,解(1)由x2+y2=(cosa＋君sina)2+(sina--/3cosa)2=4,可得函数g(x)的增区间为(1,+oo),减区间为(0.1),得曲线C:x2+沪＝4

9石t直线l的极坐标方程展开为－pcos0-~psin0=2,2'2故l的直角坐标方程为13x一y-4=0(2)由(1)得直线l为打x-y-4=0,令X=0,则P的坐标为(0,-4),x=tcosa,设过点P的直线方程为｛y=-4+tsina(t为参数）代入C:x2+y2=4得户－8tsina+12=0,设A,B对应的参数为庄，伍，所以IPAI-iPBI=it,t21=12为定值【考点】利用圆锥曲线的参数方程求鼓值圆的参数方程臼线的极坐标方程与且角坐标方程的互化【解析】(I)由x2+y2=(cosa＋戏s,血）2+(sina-,/'!,co沁）2=4可得曲线C的直角坐标方程，根据互化公式可得直线l的直角坐标方程，(2)根据参数t的几何意义可得【解答】解(1)由x2＋沪＝（cosa+祁sina)2+(sina-/3cosa)2=4,得曲线C:x2＋沪＝4戎直线l的极坐标方程展开为一pcos0-~psin0=2,22故l的直角坐标方程为{抎一y-4=0.(2)由(1)得直线l为,/'!,x-y-4=0.令X=0,则P的坐标为(0,-4)x=tcosa,设过点P的直线方程为{{t为参数）y=-4+tsina代入C:x2＋沪＝4得t2-8tsina+12=0,设A,B对应的参数为t1,t2,所以IPAI·IPBI=jt,t2!=12为定值第19页共20页0第20页共20页