第二章推理与证明2.1.1　合情推理含解析苏教版选修2-2高中数学试题

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1、2.1.1　合情推理(二)明目标、知重点　1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．1．类比推理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程→→2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．[情境导学]春秋时代鲁班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，他的思维过程为：齿形草能割破行人的

2、腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的，因此，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．这就是类比推理．探究点一　类比推理阅读下面的推理，回答后面提出的思考：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．对比圆和球，有类似特征：(1)完美对称；(2)都是到定点距离等于定长的点的集合；(3)形状相近．根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心

3、到其切面的距离等于半径”．思考1　这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答　两个实例均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．思考2　猜想正确吗？答　不一定正确．思考3　类比圆的特征，填写下表中球的有关特征圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两

4、个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2小结　在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形中的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形中的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形中的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形中的“体积”．探究点二　平面图形与立体图形间的类比例1　在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边

5、AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________．答案　设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S解析　类比条件：两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.反思与感悟　类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．跟踪训练

6、1　(1)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．(2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．解　(1)如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝

7、S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.(2)类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．探究点三　定义、定理或性质中的类比例2　在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，并类比上述

8、性质相应的