广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二数学（理）尖子生辅导资料12

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1、www.ks5u.com廷锴纪念中学高二第二学期数学尖子生辅导资料（12）2015.51．方程的实数解为．2．函数R的单调减区间是.3．在△中，已知，，则＝.4．函数在区间上的最大值是，最小值是．5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为．6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.（第7题）7．从正方体的条棱和条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金

2、银的概率是．9．在三棱锥中，已知，，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为．10．设复数列满足，，且．若对任意N*都有，则的值是．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．12.如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．ABCDEFHG证明：(1)点、、、共圆；(2)四边形是矩形．13．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．廷锴纪念中学高二第二学期数学尖子生辅导资料参考答案1．提示与答案：x＜0无解;当时，原方程变形为32x+

3、3x－6=0，解得3x=2，x=log32．2．提示与答案：与f(x)=y2=1+

4、sin2x

5、的单调减区间相同，Z．3．提示与答案：，得．4．提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．5．提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．6．提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件，且的（第7题）一个零点恰为，k∈Z.所以至少有50个零点.7．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有

6、6种情况，2金2银有两种，概率为．9．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144．10．提示与答案：由，恒成立，即.因为或，故，所以．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y12＝1，＋y22＝1．由，得M(x1＋x2，y1＋y2)．因为M是椭圆C上一点，所以＋(y1＋y2)2＝1，…………………6分即(＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，得()2＋()2+

7、2()()(＋y1y2)＝1，故＋y1y2＝0．…………………14分又线段AB的中点的坐标为(，)，所以＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上．………………20分12．如图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．证明：(1)点、、、共圆；ABCDEFHG(2)四边形是矩形．证明：(1)由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，∴∠BAF=∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；…………………8分(2)由(1)的结

8、论，得∠BHA=∠BFA，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG=∠DAB=∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900,∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分13．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2，∴x2+3x=(x+1)2，∴x=y=1.………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=

9、(x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y=(x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16=(2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11.…………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)=(1，1),(11，16),(16，11)．………

10、…………20分