【2017年整理】对称性在各种积分中的定理

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1、对称性在积分计算中的应用定理2.1.1设函数在平面上的有界区域上连续，且关于轴对称.如果函数是关于的奇函数，即，，则；如果是关于的偶函数，即，，则.其中是在轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于轴对称的情形.则由定理2.1.1知.由定理2.1.1可得如下推论.推论2设函数在平面上的有界区域上连续，若积分区域既关于轴对称，又关于轴对称，则⑴若函数关于变量均为偶函数，则.其中是区域在第一象限的部分，.⑵若函数关于变量或变量为奇函数，则.当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2设函数在平面上的有界区

2、域上连续，且关于原点对称.如果，，则；如果，，则，其中，.为了叙述的方便，我们给出区域关于的轮换对称性的定义.定义2.1.1设为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意，存在，则称区域（或光滑平面曲线段）关于具有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3设函数在平面上的有界区域上连续，且关于具有轮换对称性，则.定理2.2.1设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于坐标平面对称，则(1)若是关于变量的奇函数，则；(2)若是关于变量的偶函数，则.其中是的前半部分，.同理可写出关于坐标平

3、面（或）对称时的情形.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理2.2.2设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于原点对称，则(1)若，，则；(2)若，，则.其中，，为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于的轮换对称性定义.定义2.2.1设是一有界可度量的集几何体（可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的，都存在，存在，则称关于具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3设函数是定义在空间有界区域上的连续函数，且关于具有轮换对称性，则.3.1对称性在第一型曲线积

4、分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.定理3.1.1设平面分段光滑曲线关于轴（或轴）对称，且在上有定义、可积，则(1)若为关于（或）的奇函数，则；(2)若为关于（或）的偶函数，则.其中.由定理3.1.1可得如下推论.推论3设平面分段光滑曲线关于轴对称且关于轴对称，且在上有定义、可积，则⑴若关于均为偶函数，则，其中.(2)若关于或为奇函数，即或，，则.当曲线关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理3.1.2设平面分段光滑曲线关于原点对称，且在上有定义、可积，则(1)若，，则；(2)若，，则.其中

5、为的上半平面或右半平面.关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.定理3.1.3设平面分段光滑曲线关于具有轮换对称性，且在上有定义、可积，则.定理3.2.1设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的连续函数；⑴当关于轴对称时：①若是关于的偶函数，则；若是关于的奇函数，则，②若是关于的奇函数，则；若是关于的偶函数，则；其中是位于轴上方的部分.⑵当关于轴对称时：①若是关于的奇函数，则；若是关于的偶函数，则；②若是关于的偶函数，则；若是关于的奇函数，则；其中是位于轴右方的部分.⑶当关于原点对称时：①若关于为偶函数，即且，，则；②

6、若关于为奇函数，即且，则.其中为对于轮换对称性，我们有如下定理.定理3.2.2设为平面上分段光滑的定向曲线，为定义在上的连续函数.若曲线关于具有轮换对称性，则.的右半平面或上半平面部分.4.1对称性在第一型曲面积分计算中的应用在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性（关于坐标面、原点、轮换对称）及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理及例题.定理4.1.1设分片光滑曲面关于坐标面对称，且在上有定义、可积，则⑴若为关于的奇函数

7、，则；⑵若为关于的偶函数，则.其中.同理可写出曲面关于坐标面（或）对称的相应结论.对于轮换对称性，我们有如下定理.定理4.1.2设分片光滑曲面关于具有轮换对称性，且在上有定义、可积，则.4.2对称性在第二型曲面积分计算中的应用与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景（计算流体流量），同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论.定理4.2.1设积分曲面光滑或分段光滑，且，曲面和的法线方向相反，若曲面和关于面对称，则⑴若，则；⑵若，则.其中为的的部分.关于轮换对称性，我们有如下定理.定理

8、4.2.2设积分曲面光滑或分段光滑，函数在曲面上有定义、可积，若积分曲面关于具有轮换对称性，则.1／万－1／千地质测量质量要求表（吉林参考）11／万1／5千1／2千1／千1／万草测1／2千草测1234567一地质观测研究程度沉积岩1对地层划分到组或阶，如范围大应进一步二分或三分，确定其时代，测定其厚度及产状2.对标志层、成矿有利的