高考一轮数学复习 82双曲线 理 同步练习(名师解析)

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1、第8章第2节知能训练·提升考点一:双曲线的定义1.已知F1、F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,P,Q为右支上的两点,直线PQ过F2且倾斜角为α,则

2、PF1

3、+

4、QF1

5、-

6、PQ

7、的值为(  )A.8          B.2C.4D.随α的大小而变化解析:由双曲线定义知:

8、PF1

9、+

10、QF1

11、-

12、PQ

13、=

14、PF1

15、+

16、QF1

17、-(

18、PF2

19、+

20、QF2

21、)=(

22、PF1

23、-

24、PF2

25、)+(

26、QF1

27、-

28、QF2

29、)=4a=4.答案:C2.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1、F2是该双曲线的两个焦点,若

30、PF1

31、∶

32、PF2

33、=3∶2,则△PF1F2的面

34、积为(  )A.6B.12C.12D.24解析:由题意得

35、PF1

36、-

37、PF2

38、=2,且

39、PF1

40、∶

41、PF2

42、=3∶2,由此解得

43、PF1

44、=6,

45、PF2

46、=4,又

47、F1F2

48、=2=2,且

49、F1F2

50、2=

51、PF2

52、2+

53、F1P

54、2,即PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积是

55、PF1

56、·

57、PF2

58、=×6×4=12.答案:B3.设点P在双曲线-=1上,若F1、F2为此双曲线的两个焦点,且

59、PF1

60、∶

61、PF2

62、=1∶3,则△F1PF2的周长等于(  )A.22B.16C.14D.12解析:由题意,a=3,b=4,∴c=5,根据题意,点P在靠近焦点F1的那支上,

63、且

64、PF2

65、=3

66、PF1

67、,所以由双曲线的定义,

68、PF2

69、-

70、PF1

71、=2

72、PF1

73、=2a=6,∴

74、PF1

75、=3,

76、PF2

77、=9,故△F1PF2的周长等于3+9+10=22.答案:A考点二:双曲线的方程4.过点(2,-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),据已知点(2,-2)在双曲线上,代入得λ=-2.从而所求方程为-y2=-2,即-=1.答案:A5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e

78、=k,则双曲线方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:由y=kx(k>0)为双曲线-=0的一条渐近线,知k=.又e=k,故有=·⇒c2=5b2⇒a2=4b2,故方程为-=1.答案:C考点三:双曲线的性质6.(·广西桂林十八中月考)已知抛物线y2=x的准线与双曲线-=1(b>0)的左准线重合,则此双曲线的渐近线方程是(  )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:本题主要考查圆锥曲线的几何性质,利用性质准确求得b的值是解题关键.抛物线的准线为x=-,双曲线的左准线为x=-,∴=,∴b=16,即双曲线方程为-=1,∴双

79、曲线的渐近线方程是y=±x,故选B.答案:B7.(·江西模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0),双曲线斜率大于零的渐近线l交双曲线的右准线于P点,F(c,0)为右焦点.(1)求证:直线PF与渐近线l垂直;(2)延长FP交左准线于M,交双曲线左支于N,使M为PN的中点,求双曲线的离心率.解:(1)证明:右准线为x=,由对称性不妨设渐近线l为y=x,则P(,),又F(c,0),∴kPF==-,又∵kl=,∴kPF·kl=-1,∴PF⊥l.(2)PF的方程为y=-(x-c),又左准线为x′=-,∴M(-,).又∵M是PN的中点,∴N(-,).∵N在双曲

80、线上,∴-=1,即-()2=1,令t=e2,则t2-10t+25=0,∴t=5,即e=.8.如图,双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,F1、F2分别为左、右焦点,M为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且·=-.(1)求双曲线的方程;(2)设A(m,0)和B(,0)(0<m<1)是x轴上的两点.过点A作斜率不为0的直线l,使得l交双曲线于C、D两点,作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴.解:(1)根据题设条件,F1(-c,0),F2(c,0).设点M(x,y),则x、y满足.因e==,解得M(-,),故·=(-+c,)·(--c

81、,)=a2-c2+b2=-.利用a2+b2=c2,得c2=,于是a2=1,b2=.因此,所求双曲线的方程为x2-4y2=1.(2)证明:设点C(x1,y1),D(x2,y2),E(x3,y3),则直线l的方程为y=(x-m).于是C(x1,y1)、D(x2,y2)两点坐标满足将①代入②得(x-2x1m+m2-4y)x2+8myx-4ym2-x+2mx1-m2=0.由x-4y=1(点C在双曲线上),上面方程可化简为(m2-2x1m+1)x2+8myx-(x-2mx1+m2x)=0.由已知,显然m2-2x1m+1≠0.于是x1x2=-.因为x1≠0,得

82、x2=-.同理,C(x1,y1)、E(x3,y3)两点坐标满足.可解得x3=-=-.所以x2=x3,故直线DE垂直于x轴.

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