高考一轮数学复习 83抛物线 理 同步练习（名师解析）

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1、第8章第3节知能训练·提升考点一：抛物线定义的应用1．已知点P是抛物线y＝x2上的动点，点P在直线y＝－1上的射影是M，定点A(4，)，则

2、PA

3、＋

4、PM

5、的最小值是(　　)A.　　　　　　　　　B．5C.D．6解析：如图，据抛物线定义可知点P到准线y＝－的距离等于PF的长，故

6、PC

7、＋

8、PA

9、＝

10、PF

11、＋

12、PA

13、≥

14、AF

15、＝5(即点P移至点B时取得最小值)，从而

16、PM

17、＋

18、PA

19、＝

20、PC

21、＋

22、PA

23、＋≥

24、AF

25、＋＝.答案：C2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线m，交此抛物线于P1、P2两点，求证：以P1、P2为直径的圆和这条抛

26、物线的准线相切．证明：如图所示，设P1、P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义得：

27、P1F

28、＝

29、P1Q1

30、，

31、P2F

32、＝

33、P2Q2

34、，∴

35、P1P2

36、＝

37、P1F

38、＋

39、P2F

40、＝

41、P1Q1

42、＋

43、P2Q2

44、.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，

45、P1P0

46、＝

47、P0P2

48、，∴

49、P0Q0

50、＝(

51、P1Q1

52、＋

53、P2Q2

54、)＝

55、P1P2

56、.由此可知，

57、P0Q0

58、是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．考点二：抛物线的方程3．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x

59、轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是(　　)A．y2＝xB．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±x解析：根据题意可知抛物线以x轴为对称轴，当开口向右时(如图所示)，A(，)，设抛物线方程为y2＝2px，则有＝2p·，所以p＝，抛物线方程为y2＝x，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y2＝－x.答案：C4．抛物线的焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝4x和x2＝－4yB．y2＝－4x和x2＝4yC．y2＝－8x和x2＝8yD．y2＝8x和x2＝－8y解析：直线x－y＋2＝0与两坐标轴的交点为(－2,0)，(0,2

60、)，若抛物线的焦点为(－2,0)，设其方程为y2＝－2px，由－＝－2，得－2p＝－8，所求方程为y2＝－8x.若抛物线的焦点为(0,2)，设其方程为x2＝2py，由＝2得2p＝8，所求方程为x2＝8y.答案：C考点三：抛物线的性质5．如图，过抛物线y2＝4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x－1)2＋y2＝1于A、B、C、D四点，则

61、AB

62、·

63、CD

64、＝(　　)A．4B．2C．1D.解析：∵

65、AB

66、·

67、CD

68、＝定值，∴分析直线与x轴垂直的情况，即可得到答案，∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为y2＝4x的焦点，半径为1，∴此时

69、AB

70、＝

71、CD

72、＝1，∴

73、

74、AB

75、·

76、CD

77、＝1，故选C.答案：C6．(·河南洛阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF＝90°，则

78、AF

79、－

80、BF

81、的值为(　　)A.B．pC.D．2p解析：如图，在直角三角形CBF中利用射影定理得y＝(x1＋)·(－x1)＝－x＝2px1，x1＝p，

82、BF

83、＝p，又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，∴＝＝，

84、AF

85、＝p，则

86、AF

87、－

88、BF

89、的值为2p，故选D.答案：D7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

90、

91、＋

92、

93、＋

94、

95、＝

96、(　　)A．9B．6C．4D．3解析：焦点F坐标为(1,0)，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．∴＝(x1－1，y2)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)∵＋＋＝0，∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，∴x1＋x2＋x3＝3∴

97、

98、＋

99、

100、＋

101、

102、＝＋＋

103、＝＋＋＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.答案：B8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且

104、AB

105、≤2p.(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积

106、的最大值．解：(1)设直线l的方程为y＝x－a，代入抛物线方程得(x－a)2＝2px，即x2－2(a＋p)x＋a2＝0，∴

107、AB

108、＝·≤2p，∴4ap＋2p2≤p2，即4ap≤－p2.又∵p＞0，∴a≤－.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点C(x，y)，由(1)知，y1＝x1－a，y2＝x2－a，x1＋x2＝2a＋2p，则有x＝＝a＋p，y＝＝＝p.∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p＝－(x－a－p)，从而N点坐标为(a＋2p,0)，点N到AB的距离为＝p.从而S△NAB＝···p＝2p.1.(·全国Ⅱ)已知直线y＝k(x＋

109、2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若

110、FA

111、＝2

112、FB

113、，则k＝(　　)A.B.C.D.解析：过A、B