高考数学一轮复习 10a2课时作业

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1、课时作业(四十八)一、选择题1．给出下列四个命题：①若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线②若a∥b，b与c相交，则a与c相交③若a⊥b，a⊥c则b∥c④异面直线a、b在同一平面内的射影是相交的两条直线其中正确命题的个数是(　　)A．0个　　　　　　　　B．1个C．2个D．3个答案　A2．下列命题正确的是(　　)A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C．与异面直线a、b都垂直的直线有且只有一条D．若a与b所成的角等于c与b所成的角，则a∥b答案　B3．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN

2、与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)A．①②③B．②④C．③④D．②③④答案　C解析　如图，把正方体的平面展开图还原到原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C不含②，运用排除法，故应选C.4．如果异面直线a与b所成的角为60°，P为空间一定点，则过点P与a，b都成60°角的直线有且仅有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条答案　C解析　可过P点作a′∥a，b′∥b，则过点P与a，b都成60°角的直线必与a′，b′也成60°角，满足条件的直线与a′，b′

3、共面的有1条，不共面的有2条，共3条，故选C.5．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案　B解析　对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线不止一条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．6．(09·全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A

4、A1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图，连结A1B，则A1B∥CD1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角．设AB＝a，则A1E＝a，A1B＝a，BE＝a.△A1BE中，由余弦定理得cos∠A1BE＝＝＝.7．(·厦门)正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图，取PB的中点N，连结CN、MN，则∠CMN即为PA与CM所成的角(或补角)，设PA＝2，则CM＝，MN＝1，CN＝，∴cos∠CMN＝＝.二、填空题8．如右图，正四面体DA

5、BC中，P∈面DBA，则在面DAB内过点P与直线BC成60°的直线可作________条．答案　29．在正方体ABCD－A1B1C1D1中P为BD上一点，若B1P与CD所成的角为60°，则＝________.答案　＋1解析　在平面ABCD中，作PQ∥DC，交BC于Q，则∠B1PQ＝60°.设正方体棱长为1，BP＝x，∴B1P＝，PQ＝x，B1Q＝在△B1PQ中，B1Q2＝B1P2＋QP2－2B1P·QP·cos∠B1PQ即1＋x2＝1＋x2＋x2－2··x·解得x＝1，∴＝＝＋1.10．(08·全国卷Ⅰ)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C—AB—D的余弦值为，M、N

6、分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于________．解析　在线段AB、DE上分别取点G、H使AG＝AB，EH＝DE，取DE的中点F，连结MG、GH、MH、FN、AF，如图所示，设AB＝4，易知MG⊥AB，GH⊥AB，∠MGH是二面角C—AB—D的平面角，即有cosMGH＝，MN綊EF，则四边形MNFE是平行四边形，故EM綊NF，∠ANF(或其补角)等于直线EM、AN所成的角，通过计算可得AN＝2，ME2＝NF2＝EH2＋(MG2＋GH2－2MG·GHcosMGH)＝12，即ME＝2，AF2＝42＋22＝在△ANF中，cosANF＝＝，因此EM、AN所成角的余弦值为.三

7、、解答题11．如图，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD，M是BD的中点，N是AC的中点．(1)求证：MN⊥AC；(2)当AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c时，求MN的长．解析　(1)证明：连结AM、CM，∵BD是AB、CD的公垂线∴∠ABM＝∠CDM＝90°，又AB＝CD，M是BD的中点，∴BM＝DM，∴Rt△ABM≌Rt△CDM∴AM＝CM，由N是AC的中点知MN⊥AC.(2)当AB＝CD＝a，BD＝b，AC