高考数学一轮复习 10a5课时作业

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1、课时作业(五十一)一、选择题1．(09·重庆)已知二面角α—l—β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是65°的直线的条数为(　　)A．2　　　　　　　　　　B．3C．4D．5答案　B解析　过点P分别作平面α、β的垂线l1、l2，则所求直线m与l1、l2所成的角都是65°，且直线l1、l2相交所成的两对对顶角的大小分别是50°与130°.于是可将问题转化为过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65°的直线m的条数问题．结合图形易知，过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65°的直线m共有3条，选B.2．(·全国卷Ⅰ，文)直三棱柱ABC

2、－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°答案　C解析　延长CA至点M，使AM＝CA，则A1M∥C1A，∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角，连接BM，易知△BMA1为等边三角形，因此，异面直线BA1与AC1所成的角为60°，选C.3．(·黄冈)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°答案　C解析　易知当折成的二面角B－AC－D为90

3、°时，体积最大，正方形的对角线BD被折成两段OD，OB，此时OB与BD所成的角即为BD与平面ABC所成的角，易知△ODB为等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴选C.4．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均相等，则二面角A－A1B－C的大小为(　　)A．arctanB．arccosC．arcsinD．arccos答案　A解析　取AB中点E，则CE⊥平面A1AB过E作EF⊥A1B于F，连结CF，则CF⊥A1B∴∠CFE为二面角A－A1B－C的平面角，设BC＝1则CE＝，EF＝.tan∠CFE＝＝故选A5．(·全国卷Ⅰ，理)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平

4、面ACD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D－ACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cos∠DD1H＝＝，故选D.二、填空题6．四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形，当二面角P－AD－B为1，直线PB与底面ABCD所成的角为　　　　.答案　30°解析　取AD中点O，则PO⊥AD，BO⊥AD∴∠POB＝

5、1且PO＝BO，∴∠PBO＝30°7．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为　　　　.答案　解析　如图，作AE⊥CD，又∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，B1D⊥平面A1ACC1，则B1D⊥AE，又因为CD∩DB1＝D，∴AE⊥平面B1DC，则∠ADE就是直线AD与平面B1DC所成的角，设正三棱柱棱长为2，则DC＝，AD＝，AC＝2.在△ACD中，由余弦定理求得：cosADC＝＝＝，即直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.8．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα＝.答案

6、　解析　本题考查立体几何知识，由对称原理，该正四棱柱只可能为正方体，满足题意的直线可以为其对角线，显然对角线与各面所成的角的余弦值都是.三、解答题9．(·江西，文)如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.(1)求直线AM与平面BCD所成角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解析　(1)取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．因为O

7、B＝MO＝，MO∥AB，所以＝＝，EO＝OB＝，所以EB＝2＝AB，故∠AEB＝45°.(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线．由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，即平面ACM与平面BCD所成二面角的平面角，设为θ.因为∠BCE＝1所以∠BCF＝60°.所以BF＝BC·sin60°＝，又AB＝2，AB⊥BF，所以AF＝，所以sinθ＝.所以，所求二面角的正弦值是.10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2