高考数学复习点拨 求直线的方程问题常见错误剖析

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1、求直线的方程问题常见错误剖析求直线的方程是解析几何中重要内容之一，也是高考的必考内容。直线方程涉及的内容多，题目灵活，解题中容易出现偏差，下面对解题中的一些常见的错误进行剖析，以帮助同学们理解和掌握。一、忽略斜率不存在致错若将直线方程设为点斜式或斜截式时，应对斜率是否存在进行讨论，否则回导致错误。例1求过（1，2）且与直线y=x+1的夹角为的直线方程错解：设所求直线的斜率为k，因为直线y=x+1的斜率为k1=，由两直线的夹角公式得︱︱=tan=，解得k=－，由点斜式得，y－2=－·（x－1），故所求直线方程为：x+3y－6－=0。剖析：这里忽略了斜率不存在的情况。事实上，还有一条直线x=1也符

2、合条件。二、忽略截距为零致错截距相等包含两层含义，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而往往后者常被人们忽视，造成遗漏。因此，解决此类题目，要注意分类讨论。例2直线L经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程。错解：由题意，直线两坐标轴上的截距相等，则可设方程为。∵直线L过点P（3，2），∴，即a=5，∴方程为，即x+y－5=0。剖析：故设的直线方程是以截距不为零为前提的，事实上，当直线过原点时，在x轴、y轴上的截距都为零，也满足条件，此时直线方程为y=x。故满足题意的直线方程为y=x或x+y－5=0。三、忽视与x轴平行致错例3设直线L经过点A（2，1），B（3，m），

3、求直线L的方程。错解：由两点式，得经整理，得（m－1）·x－y+3－2m=0（m≠1）剖析：这里忽视了m=1，即与x轴平行时，也满足题意，此时直线方程为y=1。故满足题意的直线方程为y=1或（m－1）·x－y+3－2m=0（m≠1）。评注：过A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的直线方程，不能写成，应写成（x2－x1）·（y－y1）－（y2－y1）·（x－x1）=0四、混淆“截距”与“距离”致错例4求过点P（3，2），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。错解：直线两坐标轴上的截距相等，则斜率k的值为±1。若k=1，则直线方程为y－2=x－3，即x－y－1=0；若k=－1，则直线方程为y－2

4、=－（x－3），即x+y－5=0。∴所求直线方程为x－y－1=0或x+y－5=0。剖析：截距不是距离，它是有向线段的数量，可正、可负、也可为0，错解中方程x－y－1=0在x轴、y轴上的截距分别为1，－1，截距当然不相等，属于概念性错误。五、混淆“到角”与“夹角”致错例5在直角坐标系xoy中，过点P（－3，4）的直线L与直线OP的夹角为，求直线L的方程.错解：设所求直线L的斜率为k，∵kop=，∴=tan=1，解得k=－.由点斜式得，y－4=·（x+3），故所求直线方程为：x+7y－25=0.剖析：此题把“到角”与“夹角公式”当成“到角公式”来解.应该用夹角公式∣∣=1，解得k=7，k=－.从而

5、方程为7x－y+25=0或x+7y－25=0.六、对概念的理解不透彻致错例6a为何值时，（1）直线x+2ay－1=0与直线（3a－1）·x－ay－1=0平行？（2）直线2x+ay=2与直线ax+2y=1垂直？错解：（1）直线x+2ay－1=0与直线（3a－1）·x－ay－1=0的方程可变形为y=－x+与y=x－.∴当－=且≠－时，即a=时，两直线平行.（2）当－（－）=－1时，两直线垂直，此方程无解.故无论a为何值时，两直线都不垂直.剖析：两直线平行的条件为k1=k2，b1≠b2，垂直的条件k1·k2=－1，都是在两直线都有斜率，即方程中y的系数均不为0的条件下才成立，若方程中y的系数中含字母

6、参数时，则应就等于0和不等于0两种情况去讨论，否则就会遗漏特殊情况.在错解中都是a0的情况，而当a=0时：（1）中的两直线分别为x－1=0和x+1=0，此时是平行直线；（2）中的两直线分别为x=1和y=，此时是垂直直线，故（1）的答案是a=0或a=，两直线平行；（2）的答案是a=0，两直线垂直.评注：此题（2）中若用两直线垂直的充要条件A1A2+B1B2=0求解，更简便.