常微分方程的几种数值解法

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1、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸常微分方程的几种数值解法数学与应用数学肖振华指导教师张秀艳【摘要】自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams预估校正法以及勒让德谱方法等，通过具体的算例，结合MATLA

2、B求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。【关键词】常微分方程数值解法MATLAB误差分析【Abstract】Manyphenomenainnatureandengineeringcanbeattributedtothedefinitesolutionoftheproblemfordifferentialequations.Amongthem,theordinarydifferentialequationsolvingisanimportantfoundationfortheco

3、ntentofthedifferentialequations.However,manyofthedifferentialequationsareoftendifficulttoobtainaccurateanalyticalexpression.Atthistime,thenumericalsolutionprovidesagoodidea.FortheNumericalSolutionofOrdinaryDifferentialEquationsinthisarticle,wefocusesonsomecommonlyusednumericalsolution,such

4、astheEulermethod,improvedEulermethod,Runge-Kuttamethod,Adamspredictorcorrectormethodaswellasnewerspectralmethods.Throughspecificexamples,combinedwithMATLABsolvinganddrawing,weinitiallyknowthesolutionprocessofgeneralnumericalsolutionofordinarydifferentialequations.Atthesametime,accordingtot

5、heerroranalysisofvariousmethods,everyonehasanintuitivefeelofthecharacteristicsandscopeofthevariousmethods.【Keywords】OrdinaryDifferentialEquationsNumericalSolutionMATLABerroranalysis共39页第39页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸目录1前言31.1常微分方程概述31.2常微分方程解与数值解法32欧拉法和改进的欧拉法42.1欧拉法4

6、2.2改进的欧拉方法52.3算例53龙格-库塔法133.1龙格-库塔法与泰勒展开133.2龙格-库塔法公式与ode函数143.3算例174阿达姆斯预估校正法214.1阿达姆斯（Adams）公式214.2预估校正方法234.3算例235勒让德谱方法285.1谱方法介绍285.2勒让德多项式与谱方法285.3算例30参考文献39共39页第39页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊毕业设计（论文）报告纸1前言1.1常微分方程概述方程是一个在数学中非常熟悉的名词，在初等数学里，我们将我们要研究的问题作为一个或几个未知量，通过观察事物的规律，

7、得出这些未知量与已知量之间的等式关系，这样就得到了一个简单的方程或方程组——当然，这只是一个很浅显粗略的定义。在数学上，物质的运动和变化规律是通过函数关系来表示的，在一些复杂的现象中，比如火箭的运动轨迹，我们要求的未知量就变成了满足特定条件的一个或一些未知函数（不再是简单的数值）。有时候，我们需要用到导数很微分的知识，即这些未知函数的导数与自变量满足某种关系，这种方程，我们称之为微分方程，即可以这样定义，凡是含有参数，未知函数和未知函数导数（或微分）的方程称之为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程（