高中数学 1.3.1第2课时函数的最值学案 新人教A版必修.doc

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1、第2课时　函数的最值[学习目标]　1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值．[知识链接]以下说法中：①函数y＝2x在R上为增函数；②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③函数y＝x2＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)．正确的有________．答案　①[预习导引]1．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(

2、x)的最大值是图象最高点的纵坐标．2．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．要点一　利用图象求函数的最值例1　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．解　作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值

3、为0.规律方法　1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．跟踪演练1　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥

4、－7，当x＝2时，等号成立．即函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4.要点二　利用单调性求函数的最值例2　求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．解　任取2≤x1<

5、x2≤5，则f(x1)＝，f(x2)＝，f(x2)－f(x1)＝－＝，∵2≤x10，x1－1>0，∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)

6、函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．跟踪演练2　已知函数f(x)＝x＋.(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．(1)证明　设1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)·.∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)解　

7、由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增，∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＝4时，f(x)max＝f(4)＝.综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2.要点三　函数最值的实际应用例3　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解　(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)

8、＝(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000；∴当x＝300时，f(x)max＝25000，当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×40