闭区间上连续函数的性质的教学ppt 非常好课件.ppt

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1、定理1设在闭区间上连续，则在上存在最大值和最小值，即使得1、最大值和最小值定理§2.6闭区间上连续函数的性质设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则(i)f(x)在[a,b]上为单调函数时aObxyaObxyOabxyOabxy§2.6闭区间上连续函数的性质此时，函数f(x)恰好在[a,b]的端点a和b取到最大值和最小值.y=f(x)[a,b],则y=f(x)[a,b],则§2.6闭区间上连续函数的性质(ii)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，xyaa1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)§2.6

2、闭区间上连续函数的性质注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.§2.6闭区间上连续函数的性质定理2设在闭区间上连续，则在上有界.函数在上无上界：2、有界性定理§2.6闭区间上连续函数的性质f(x)在[a,b]上可取到它的最大值M和最小值m，证：f(x)在闭区间[a,b]上连续故mf(x)Mx[a,b]

3、f(x)

4、M*x[a,b]令M*=max{

5、m

6、,

7、M

8、},则即f(x)在[a,b]上有界.§2.6闭区间上连续函数的性质3、零点存在性定理定理3：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(

9、b)<0，则至少存在一点(a,b)，使得f()＝0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O几何解释:§2.6闭区间上连续函数的性质4、介值定理定理4’：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)＝A,f(b)＝B,且AB,则对于A，B之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得f()=C定理4：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在最大值最大值M和最小值m，对于M和最m之间的任意一个数C，至少存在一点(a,b)，使得f()=C§2.6闭区间上连续函数的性质证：令(x)=f(x)C故,由根存在定理，至少存在一点(a

10、,b)使则(x)C([a,b]).C在A，B之间(a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)＝(AC)(BC)<0(x)=0，即f(x)=C.yBCAOabx推论：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)取得介于其在[a,b]上的最大值M和最小值m之间的任何值就是说，mCM,则必存在[a,b],使得f()=C.例1：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，a

11、值定理，至少存在一点[x1,xn]，使综上所述，命题获证.mf(xi)M.§2.6闭区间上连续函数的性质例2:证明方程x5–3x=1,在x=1与x=2之间至少有一根.证：令f(x)=x5–3x–1，x[1,2]则f(x)在闭区间[1,2]上连续又f(1)=–3，f(2)=25，即f(1)f(2)<0即方程在x=1与x=2之间至少有一根.故至少存在一个(1,2)，使得f()=0,§2.6闭区间上连续函数的性质例3证由零点定理,§2.6闭区间上连续函数的性质而f(0)=0–asin0–b=–b<0f(a+b)=(a+b)–asin(a+

12、b)–b=a(1sin(a+b))0设f(x)=xasinxb,x[0,a+b],则f(x)在闭区间[0,a+b]上连续,例4：证明：方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个不超过a+b的正根.证：问题归结为在[0,a+b]上求方程的根的问题.§2.6闭区间上连续函数的性质1)如果f(a+b)＝0，则=a+b就是方程的根.综上所述，方程在[0,a+b]上至少有一个根,即至少有一个不超过a+b的正根.2)如果f(a+b)>0,则f(0)f(a+b)<0，由根存在定理,至少存在一个(0,a+b)，使得f()=0.§2.6闭区

13、间上连续函数的性质例5证明讨论:§2.6闭区间上连续函数的性质由零点定理知,综上,§2.6闭区间上连续函数的性质§2.6闭区间上连续函数的性质左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类总结