线性空间与线性变换.doc

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1、第一章线性空间与线性变换知识要点：1、线性空间的概念和结构，基变换、过渡矩阵和向量的坐标变换。2、线性子空间的概念，维数定理，直和与直和分解定理。3、线性变换及其矩阵表示。4、欧氏空间与酉空间，正交阵与酉阵，正交补与正交分解。5、正交变换及其特征。6、应用于小波变换的框架理论（对偶框架，紧框架，基）。§1.1线性空间一、线性空间的概念在诸如所有维实向量构成的集合等集合中，线性运算是研究向量性质的基本工具，它能从线性相关性和线性结构的角度研究向量、向量组之间的关系，这在线性代数课程中已得到充分展示。对于更加一般的元素构成的集合，也可同样在其中引入“

2、线性运算”，进行集合性质和结构的研究。通常具有某些运算工具的集合称为“空间”。定义1（definition）：设非空集合相对于数域具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律和乘1不变性，则称为数域上的线性空间。注1（note）：数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集，如有理数集、实数集和复数集等。注2：易证零元素和负元素均是唯一的，零元素为，元素的负元素记为。注3：任何线性空间必含有零元素，只含有零元素的线性空间称为零空间，记为。

3、对于元素和数，与的和记为，与的数乘记为，称为与的线性运算或线性组合。一个集合是否构成一个线性空间，主要是看所引入的线性运算是否具有封闭性。例1（example）：数域上的维（行或列，以后若不加声明均指列）向量空间。按维向量的线性运算，构成数域上的线性空间。例2：中的子集，其中为上阶矩阵。按中的线性运算，非空子集是封闭的，从而构成数域上的线性空间。例3：数域上的阶矩阵空间。按阶矩阵的线性运算，构成数域上的线性空间。例4：数域上的多项式空间。按多项式的线性运算，构成数域上的线性空间。例5：区间上的实值连续函数空间。按函数的线性运算，构成数域上的线性空

4、间。例6：中子集，其中，。因为，所以时，，即数乘运算不满足封闭性，因而不构成数域上的线性空间。例7：设，定义中的“加法”和“数乘”为：，，，则为上的线性空间，其中中零元素为1，的负元素为。以上各例的完整证明留给读者完成。二、线性空间的结构由于线性空间中已建立了线性的运算工具，因此可类似于维向量空间中的做法，考察元素间的线性相关性和线性空间的结构。为习惯起见，以后线性空间中元素仍称为向量。定义2：设为数域上的线性空间中的一组向量，若有中不全为零的一组数，使得，则称线性相关，否则称为线性无关。显然，若使得成立的数只能全为0，则向量组必是线性无关的。由

5、此可知，单个非零向量也是线性无关的。定义3：设线性空间中有一组非零向量，满足：（1）线性无关；（2）中任一向量均可由线性表示。则称为的一组基，数称为的维数，记为。注1：线性空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的。注2：线性空间的基可以理解为空间中的参照系，能将所有元素线性表示出来。定理1：设为数域上线性空间的一组基，则对于任何向量，存在唯一一组数，使得，从而。证明：对于向量，若有一组数，使得，则。由基的线性无关性可知，。因此，向量在基下的线性表示是唯一的。由基的定义可知，。由线性运算的封闭性可知，对于任意，，从而。因此，。注：集合称为线性空间的

6、结构表示。称为向量在基下的结构表达式。若将记为，维向量称为在基下的坐标。例8：为中的一组基，；为中的一组基，；为（所有以中数为系数，次数不超过的多项式的集合）中的一组基，；中任意有限个向量均为或中线性无关的向量组，因而或均不是有限维的线性空间。以上结论由读者自行证明。例9：试证为线性空间中的一组基，并求矩阵在这组基下的坐标。证明：设，则。由此可得，。因此，线性无关。对于中的任意矩阵总有，因此，为中的一组基，并且矩阵在这组基下的坐标为。注：若令，可得解之即得，。从而矩阵在基下的坐标为。三、基变换、过渡矩阵和坐标变换在实际问题中，某个参照系中的描述和

7、分析较为复杂和困难时，往往需要建立新的参照系，使得原问题形式简化和分析简单。就像转换观察角度后，问题的形式和性质可以变得更加简单明了。因此，当线性空间的一组基被理解为空间中的一种参照系时，自然就存在基之间的转换。定义4：设和为线性空间中的两组基，若…………………则矩阵称为从基到基的过渡矩阵。将上述基变换表达式简记为，称之为基变换公式。定理2：线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明：设从基到基的过渡矩阵为，则。对于任何列向量，时，必有。由基的线性无关性，可得。再由线性代数知识可知，过渡矩阵是可逆的。推论：设为基到基的过渡矩阵，则基到基的过渡矩阵为。

8、证明：设基到基的过渡矩阵为，则由，可得。比较左、右对应项在基下表达式的系数，可得（记为），即。这说明到的过渡矩阵为。注：由一组基和一个可