imo预选题1999(中文)

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1、1999IMOshortlist1999IMOshortlist(1999IMO备选题)Algebra（代数）A1.n为一大于1的整数。找出最小的常数C，使得不等式2n22æöåxixj(xi+xj)£Cçåxi÷成立，这里x1,x2,L,xn³0。并判断等号成立1£i

2、n个（至少两个）女孩玩的游戏，每人有个球。任意位ænö置的每对（共ç÷种可能）女孩同时交换手中的球。如果最后没有人ç÷è2ø手中拿有自己最初的球，则这个结果称为‘好的’；如果最后每人都拿到自己最初的球，则称为‘无聊的’。试决定n的值，使存在一个‘好的’结果，也存在一个‘无聊’的结果。A4.证明：正整数的集合不可以分为三个非空的集合，使得对任意属于不同集合的22x和y，x-xy+y属于第三个集合。1/8欢迎光临数学竞赛论坛1999IMOshortlistA5.设实函数f:®Â，求出满足下列等式的f：f(x-f(y

3、))-f(f(y))+xf(y)+f(x)-1。（选为IMO第6题）A6.对给定的实数a£L£a(n³3)，我们有如下规则：1n(1).按一定的顺序排成一个圆圈；(2).从这圆圈中去掉一个数；(3).如果只剩下两个数，则其和为S。否则，每个数用它本身和圆圈上的下一个数的和来代替。然后又开始执行第2步。næn-2öç÷证明：用这种方法能得到的S的最大为S=åékù-1ak。k=2ççèêë2úû÷÷ø2/8欢迎光临数学竞赛论坛1999IMOshortlistCombinatorics（组合学）C1.n为正整数。在x

4、y平面内有一条从(0,0)到(n,n)的由下述规则决定的路径：每次移动一个单位，且为连续的移动，只能向右(称为E移动)或向上(称为N移动)，因而在上x³y的上半平面。一个台阶是EN两次移动。证明：这条路径恰好有s个台阶的路径数目，由公式1æn-1öænöç÷ç÷确定。ç÷ç÷sès-1øès-1øC2.a.如果一个5´n的矩形由n片如下图形覆盖，则n为偶数。b.证明：一个5´2k的矩形由2k个如上图形覆盖的种数大于k-12×3(对称结构视为不同)。C3.一个生物学家在观察一条变色龙。变色龙在每次抓了苍蝇后总要休息

5、。生物学家写到：a.休息1分钟后抓到第一只苍蝇；b.抓到第2m只苍蝇休息的时间和抓到第m只苍蝇休息的时间一样长，比抓到第2m+1只苍蝇休息的时间少1分钟；c.停止休息时马上抓到苍蝇。试问：3/8欢迎光临数学竞赛论坛1999IMOshortlist（1）前9分钟变色龙抓到几只苍蝇？（2）多少分钟后变色龙抓到第98只苍蝇？（3）1999分钟后变色龙抓到多少只苍蝇？C4.设22A为N模N余数的集合。证明：存在一个N模N余数的集合2B，使得集合A+B至少包含模N余数的一半。C5.给定一个n´n的棋盘，n是偶数。我们称不同

6、方格是相邻的，如果它们有一条公共边。对n´n的棋盘找出最少的方格数，使得对它们标记之后，所有的方格至少和一个标记了的方格相邻。（选为IMO第3题）C6.对所有的整数都染上红色、蓝色、绿色或黄色，设x和y对不同的模都是奇数。证明：存在两个同色整数都与下列数不同：x,y,x+y,x-y。C7.设p为大于5的质数。对{0,L,p-1}的每个非空子集T，E(T)表示p-1所有p-1重数组(x)(i=1,L,p-1)的集合，这里每个x在T中，且ixiiåii=1是p的倍数。用E（T）表示E(T)中元素的个数。证明：E({0

7、,1,3)³E({0,1,2})。4/8欢迎光临数学竞赛论坛1999IMOshortlistGeometry（几何）G1.设M为三角形ABC内的一点。证明：min（MA，MB，MC）+MA+MB+MC£AB+BC+CA。G2.一个圆对于5点称为是‘分离’的，如果这个圆通过其中3点且把另两点留在圆的两边。证明：对三点不共线，四点不共圆任意5点，恰好存在4个‘分离’圆。G3.试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；对任何两个S中不同的点A,B，AB的垂直平分线是S的一个对称轴。(选为IOM第1题)AX4G

8、4.在三角形ABC的AB边上选一点X，使得=；在CX上选一点XB5Y，使得CY=2YX；在CA上选一点Z，使得ÐCXZ=180°-ÐABC。用S表示满足ÐXYZ=45°的所有三角形的集合。证明：S中的所有三角形都相似，且找出最小的角来。5/8欢迎光临数学竞赛论坛1999IMOshortlistG5.Q为三角形ABC内切圆，Q(a),Q(b),Q(c)分别是过(B,C),(