第三部分 代数结构

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1、第三部分代数结构第三部分代数结构引言代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一

2、个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统。类似这样的代数系统可以列举出许

3、多许多，他们都是具体的代数系统。考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统，其中A是一个集合，是A上的可交换、可结合的运算，这类代数系统实际上就是交换半群。为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。下图给出了代数结构部分的知识体

4、系。第十章代数系统10.1二元运算及其性质一、二元运算与一元运算的定义________________________________________1．二元运算的定义与实例定义10.1设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。例如f：N×N→N,f()=x+y就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运算。普通的减法不是自然数集合N上的二元运算,因为两个自然数相减可能得到负数,而负数不是自然数。这时也称N对减法运算不封闭。验证一个运

5、算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。例如实数集合R上不可以定义除法运算,因为0∈R,而0不能做除数。但在R*=R－{0}上就可以定义除法运算了,因为x,y∈R*,都有x/y∈R*。例10.1(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。(3)非零实数集R

6、*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0.(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。(5)S为任意集合,则∪、∩、－、为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交。(6)S为集合,SS为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算为SS上的二元运算。2．一元运算的定义与实例定义10.2设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。例10.

7、2(1)求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。(2)求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。(3)求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。(4)在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。(5)设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,ASS,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。(6)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元

8、运算。二．二元与一元运算的表示________________________________________1．算符可以用、*、•、、等符号表示二元或一元运算,称为算符。对于二元运算,如果x与y运算得到z,记做xy=z；对于一元运算，x的运算结果记作x.________________________________________2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和