复变函数练习册答案1-7

《复变函数练习册答案1-7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复变函数作业1复数及其代数运算几何表示1.求下列复数的实部和虚部、共轭复数、模与辐角：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；；；；；.（2）；；；；；.（3）；；；；；.（4）；；；；；.2.证明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）65（6），证（1）设，则，，从而有.（2）设，，则从而有.（3）设，，则从而有.（4）由可知.65（5）设，则，.即.（6）设，则，从而结论得证.3.将下列复数化为三角表示式和指数表示式：（1）（2）（3）（4）；（5）（6）.解（1）（三角表示式）（指数表示式）（2）（3），故（三解表示

2、式）（指数表示式）（4）（注意），，故（三角表示式）65（指数表示式）（5），其模为，其辐角，故（6）（指数式）（三角式）4.将下列坐标变换公式写成复数形式：（1）平移公式：（2）旋转公式：解（1）令，则平移公式的复数形式为.（2）令，又可写成，从而旋转公式可写成5.证明：，并说明其几何意义.证65几何意义为：以为边构成的平行四边形的两条对角线长度的平方和等手四边长的平方和.6.设复数满足关系式，求.解设，代入关系式，得.比较等式两边的虚部与实部，解得即7.复数满足，求.解因为，故.8.设为复数，的辐角为的辐角为求.解设，则得

3、解得，于是9.证明虚单位有这样的性质：.证因，，所以.6510.对任何是否成立？如果是，就给出证明，如果不是，对哪些值才成立？解：对于任何复数，易知于是，由可得比较两边的实虚部，等价地有即.故对任复数不成立，只有当为实数（虚部为零）时，等式才成立.复变函数作业2复数的乘幂与方根区域1.计算（1），（2），（3），（4），（5）.解（1）（2）（3）65.（4）（5）评注解这类题，通常是利用同乘共轭因式，或化为三角形式、指数形式等方法，进行简化计算，求得所需结果.2.求下列复数的辐角、模和共轭复数.（1），（2），（3），（4）

4、.解（1）故，模为32，辐角主值，其轭复数为（2），故模为，辐角主值，共轭复数为.（3），65故模为，辐角主值，共轭复数为（4）故模为1，辐角主值为（取使），共轭复数为评注解这类题，一般要化为的形式，然后再求模和辐角；若直接化为三角形式，则求模和辐角尤为方便.3.证明，.证在中学三角中，证明这两个公式是比较麻烦的，但在复数中却很简单.因为，对比等式两端的虚部与实部，即得4.证明：对任意自然数，若，则证因为所以于是5.求把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数.解656.设，求的值.解故，7.求下列各式的值：

5、（1）（2）；（3）；（4）解（1）（2）（3）由得即6个值分别为.65（4）由即3个值分别为.8.如果，证明：（1）；（2）证由易知，所以9.一个复数乘以，它的模与辐角有何改变？解由于复数，所以复数乘以为.，即模不变，辐角减小.10.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的？单连通的还是多连通的？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.65解令后可将本题的条件转化为满足的条件，然后在直角坐标系中解答.（1），即为上半平面，是无界单连通区域，见图2-1.（2），即

6、为圆周的外部（不含圆周），是无界多连通区域，见图2-2.图2-1图2-2（3），即为由直线及所构成的带形区域（不含两直线），是无界单连通区域，见图2-3.（4），即为由圆周与所围成的环形闭区域，是有界多连通闭区域，见图2-4.图2-3图2-4（5）即化简得为直线右边的区域（不含直线），是无界单连通区域，见图2-5.（6）为由射线及构成的角形域（不含两射线），是无界单连通区域，见图2-6.（7）可写成化简得是以为中心，65为半径的圆周的外部区域（不含圆周），为无界多连通区域，见图2-7.（8）为椭圆的内部（包含椭圆），此椭圆是以

7、（2，0）与（-2，0）为焦点，6为长轴的椭圆：，这是一个有界单连通的闭区域，见图2-8.图2-5图2-6图2-7图2-8（9）可写成，两边平方（由此易知），两边再平方或再注意到，即知不等式表示双曲线的左边分支的内部（含焦点的那部分）区域，是无界单连通区域，见图2-9.（10）可写成化简得或是以（2，1）为圆心，3为半径的圆周及其内部，这一个有界单连通闭区域，见图2-10.65图2-9图2-10复变函数作业3复变函数的概念、极限与连续性1.函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？（1）；（2）；（3）；（4）.解令，则相

8、当于或（1）由函数的如上关系式可知当时，即平面上像曲线为（圆周）.（2）当时，或为平面上的直线.（3）当时，易知，消去后为，是平面上的圆周.（4）当时代入得65为平面上的直线.2.已知映射，求（1）点在平面上的像；（2）区域在平面上的像.解（1）即的像分别为.（2）令，则.于