函数的单调性与最值

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1、函数的单调性与最值【知识要点】一、函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量x1,x2，改变量⊿x=x2-x1>0当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上

2、具有（严格的）单调性，区间I叫做f(x)的单调区间。注：①单调区间是定义域的子区间②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的。相关提示：①函数的单调区间是该函数定义域的子集函数的定义域不一定是函数的单调区间。②如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数③两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。二、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为D，

3、如果存在实数M、N满足11条件①对于任意x∈D，都有f(x)≤M②存在x0∈D，使得f(x0)=M①对于任意x∈D，都有f(x)≥N②存在x0∈D，使得f(x0)=N结论注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。三、函数的有界和无界前提设函数f(x)的定义域为D，如果存在实数A、B满足条件对于任意x∈D，都有f(x)≤B对于任意x∈D，都有f(x)≥A结论B为A为【例与练】：一、判断函数的单调性、求函数的单调区间〖例1〗（1）函数f(

4、x)=2x+1的单调区间是______，f(x)=的单调增区间是______.(2)判断并证明函数在(-1，+∞)上的单调性.【边听边记】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间.(1)转化为基本初等函数的单调性去判断；(2)可用定义法.解：〖例2〗求函数的单调区间思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先11要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．解：．【小结】1、用定义证明函数单调性的一般步骤，即：（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

5、f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。（3）定号：根据给定的区间和x2-x1符号，确定差f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。（4）判断：根据定义得出结论。2、求函数的单调性或单调区间的方法（1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：（3）能作差变形的用定义法，其思维流程为：注：函数的单调

6、性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在11内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即增加到函数的单调减区间为，不能用“∪”二、函数单调性的应用1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.2．例题解析〖例1〗若f(x)为R上的增函数

7、，则满足f(2-m)f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.〖例2〗已知f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1

8、．(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求实数n的取值范围．【解析】(1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,11∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x