因式分解综合讲义

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1、因式分解提分讲义因式分解法解题方法及提分突破训练题型特点由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体．正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点．解题总方略因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方

2、法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法公式法分组分解法十字相乘法还有较复杂的几种方法：拆项添项求根分解换元待定系数9因式分解提分讲义一公式法必记提分公式：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；　(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)

3、(a2+ab+b2)．　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；典型考题1.已知是的三边，且，则的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形2.分解因式：3(x+y)2-27二分组分解法（一）分组后能直接提公因式1、分解因式：解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=====（二)分组后能直接运用公式2、分解因式：

4、分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===3、分解因式：9因式分解提分讲义三十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘的基本规律：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。1、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1

5、×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=3、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=（三）二次项系数为1的二次多项式4、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分

6、解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==（四）二次项系数不为1的二次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=9因式分解提分讲义四换元法1、分解因式（1）（2）解：（1）设2005=，则原式===（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====2、分解因式（1）观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多

7、项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==设，则∴原式=======（2）解：原式==设，则∴原式====9因式分解提分讲义五添项、拆项、配方法1、分解因式（1）解法1——拆项。解法2——添原式=原式=========（2）解：原式====六待定系数法1、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=∵=∴=对比左右两边相同项的系数可得，解得∴原式=2、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。（2）如果有两个因式为和，求的值。（1）分析：前两项可

8、以分解为，故此多项式分解的形式必为解：设=9因式分解提分讲义则=比较对应的系数可得：，解得：或∴当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=.（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解：设=则=∴解得，∴=21经验之谈：一．因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式