资源描述：
《计算方法论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、用几种不同的方法求定积分作者：何景翔学号：20122116摘要：在高等数学中，可以使用牛顿莱布尼茨公式来计算积分。但是，在工程技术和科学研究中，常常遇到以下情况：（1）f(x)的结构复杂，求原函数困难。（2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。(3)f(x)难以用普通方法求解。我们需要使用不同的方法在Matlab中运行相关程序来解出答案。在本文中，使用的列子为求解I=01cos(x)。分别使用牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，复化梯形公式，辛普森公式和复化辛普森公式的程序进行计算。并对不同方法所求
2、得的定积分的精度进行比较。关键词：Matlab,牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，复化梯形公式，辛普森公式,复化辛普森公式，I=01cos(x)一．相关程序及运行结果1牛顿-莱布尼茨公式设f(x)在[a,b]上连续,若F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则这个公式称为牛顿-莱布尼兹公式,也称为微分基本公式。>>symsx,I=int(cos(x),0,1)I=sin(1)>>I=sin(1)I=0.8415运行结果：I=0.84152.梯形公式根据积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，
3、在积分区间[a,b]内存在一点，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于低为(b-a)、高为的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的，因而得值也是未知的，只要对提供一种数值算法，相应的就获得一种数值求积方法。建立m文件，命名为Tixing.mfunctionI=Tixing(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;returnendh=(x(n)-x(1));a=[11];I=h/2*sum(a.*y)命令窗口输入：>>x=0:1;y=cos(x);I=Tixi
4、ng(x,y)I=0.7702I=0.7702运行结果：I=0.77023.辛普森公式辛普森公式建立m文件，命名为Smps.mfunctionI=Smps(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;returnendh=(x(n)-x(1)/2);a=[141];I=h/6*sum(a.*y);命令窗口输入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=Smps(x,y)I=0.8418运行结果：0.84184.复化梯形公式我们把积分区间[a,b]划分为n等
5、分，步长h=(b-a)/n,求积节点为xk=a+hk(k=0,1,n)，在每个小区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上应用梯形公式，求出积分值Ik,然后将它们累加求和，用作为求所求积分I的近似值。即I==。记为复化梯形公式。建立m文件，命名为trapz.mfunctionI=trapz(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;return;endh=(x(n)-x(1))/(n-1);a=[12*ones(1,n-2)1];I=h/2*sum(
6、a.*y);在命令窗口输入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=trapz(x,y)I=0.8239运行结果：0.82395.复化辛普森公式我们把积分区间[a,b]划分为n等份，记子区间[x2k,x2k+2]的中点为x2k+1=x2k+,在每个小的区间上应用辛普森公式则有：记为复化辛普森公式。建立m文件，命名为S_quad.mfunctionI=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);ifn~=merror;return;endifrem(n-1,2)~=
7、0I=T_quad(x,y);return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);fork=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);在命令窗口输入：>>x=0:0.5:1;y=cos(x);I=S_quad(x,y)I=0.8418运行结果0.8418一．算法的结果比较和评价1各种方法的结果比较求值方法牛顿-莱布尼茨公式梯形公式辛普森公
8、式复化梯形公式复化辛普森公式求值结果0.84150.77020.84180.82390.8418误差0.00000.713-0.00030.01760.00032.结果比较及算法评价由上表我们可以得知，用牛顿—莱布尼茨公式求得的值误差为0，实际上，我们也知道，用牛顿-莱布尼茨公式求解定积分得值就为精确值。梯形求积公式和Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便,但是精度较差,误差较大，但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法更为有效，尤其梯形公式对被积函数是周期函数的效果更为突出。因此，不能
